BUAA_OO Unit 2 多线程电梯调度

§4 群-环-域

C1 半群-群

半群

1）二元运算(合成律)：映射

• 结合：(a*b)*c = a*(b*c)
• 交换：a*b=b*a
• 一般地，结合且交换二元运算使用+,结合二元运算使用*,为记法方便也常省略
• 凯莱表：m_ij = a_i * a_j,构成的矩阵

2）代数结构(代数系统)：(X, *)，*为X上二元运算

3）半群：* 运算结合,则称(X,*)为一个半群

4）幺半群：带有单位元的半群

• 单位元： ，单位元若存在则唯一
• 幺半群基数即X的基数，若基数有限，称半群为有限幺半群
• 特别地，称 为变换幺半群，其中M(Ω)为任意集合Ω上变换(即自映射)的集合

5）子半群：对二元运算封闭且包含于母群； 子幺半群：包含有母群单位元的子半群

6）广义结合律：n个元素相乘(二元运算意义上)结果与加括号的方式无关

• 二元运算满足广义结合律(归纳法)

• 左正规化：从左到右依次加括号，

• 方幂：xⁿ，由结合律得 xⁿ x^m = x^m+n, (xⁿ)^m = x^mn

  • 若 xy = yx, 则 ， 进一步，若 ，则

群

7）可逆： ,称x可逆，称y为x的逆元，记x^-1

• (ab)^-1 = b^-1a^-1

8）群：所有元素可逆的幺半群

• 回顾： 上全体置换(双射)构成的群 称为n阶对称群
• 特别地，称可逆实矩阵集 ，连同矩阵乘法构成的群为 上n阶一般线性群

9）阿贝尔群：交换群

10）子群：对运算封闭，含有逆元，包含于母群，若不相等，称真子群

• 特别地，称行列式为1的实矩阵群 连同矩阵乘法构成的群为 上n阶特殊线性群，或者单位模群,

  是n阶一般线性群的子群

11）循环群： ，称a为生成元，循环群记为

• 阶：

  • 无限阶：
  • 有限阶： ,最小正q称为阶，可证

12）同构：存在同构映射的两个群 同构，记为

• 同构映射：双射f使得 ，性质：

  • 逆映射存在且也是一个同构

• 自同构：G到自身的自同构映射

  • G上自同构构成S(G)(全体双射群)的一个子群
  • 内自同构群: ,元素为 ,是Aut(G)的一个子群，与G同态

• 定理：任意两个同阶循环群同构

• 定理：任意一个n阶有限群同构于n阶对称群 的某个子群

  证明：

• 无限群存在同构真子群

13)同态：映射f使得

• 若f是单射，称为单同态；若f是满射，称为满同态
• 核：
• 群到自身的同态映射称自同态
• 回顾： ，则符号映射 ，构成 的一个同态 其核 为一个 阶群，称为交错群

C2 环

1）环：(R,+,·)，满足(R,+)是阿贝尔群，（R,·)是半群，乘法对加法分配

• 广义环研究中，可能不要求乘法群是半群，称为非结合环

• 环的单位元：乘法半群的单位元，不一定存在

• 称为整数环, 称为全矩阵环，或n阶方阵环

• 函数环：

  • ，为X到任意环R的映射集
  • 为逐点加：
  • 为逐点乘：
  • 单位元： ;零元 。均为常函数
  • 显然，有界函数环，连续函数环，可微函数环都是其子环

2）子环：R的加法群的子群核乘法半群的子半群构成的环

• 子环交仍是子环
• ，同样，

3）环的性质：

• 广义分配律： ，故
• 若环的乘法交换，则满足牛顿二项式公式
• 若 则环R中所有元素为0。故非平凡环中，

4）剩余类环：

• 同余式：模m余数相同称为模m同余，记为 ，称*同余式

• 剩余类环：

  • , 称为模m剩余类
  • ：模m加法
  • ：模m乘法
  • 单位元： ；零元：
  • 方便起见，记 w为 ，甚至记为

• 称 为模m剩余类的导出集,实际上与 同构

5）同态：存在同态映射的两个环 ，记为

• 同态映射：
• 满同态下，
• 核：

6）零因子：

• ，则a称为左零因子，b称为右零因子。交换环中简称零因子。0本身称平凡零因子

• 无零因子环：出0外无其它零影子

• 整环：非平凡(1≠0)、无零因子、交换环

• 定理：有单位元非平凡交换环是整环(即无零因子) iff R中消去律成立

  • 消去律：

7）可逆： ，称a右可逆，b左可逆

• 定理：无零因子环或者交换环中，左右可逆性相同，左右逆相同

  小证：无零因子环中

• 显然，若R是带单位元的环，则所有可逆元素构成一个乘法群

C3 域

1）除环(斜域)：乘法满足[ 关于乘法构成一个群]的环。

• 非零元素可逆
• 没有零因子

2）域：交换除环

• 分式(商、比例式)： 记为

3）子域：域P中为域的子环F，称F为子域，P为扩域

4）同构：作为环同构

• 同态：注意到 ，f一般是单同态

5）定理：剩余类环 是域 iff m是素数

• 推论(费马小定理)： (素数)则

6）素域：不包含任何真子域的域

• 定理： 为素域。且

• 域的特征( )：

  • 若 ,则特征为0，此时P加法群中1的阶无限
  • 若 则特征为p，此时P加法群中任意非零元素有阶p