无穷小与无穷大

无穷小

定义

如果函数$f(x)$当$x\to x_0$(或$x\to \infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x\to x_0$(或$x\to \infty$)时的无穷小。

注意：

（1）无穷小不可以和很小的量混为一谈，无穷小量不是指量的大小，而是指量的变化趋势（以零为极限）；
（2）无穷小是这样的函数：在$x\to x_0$(或$x\to \infty$)过程中，函数的绝对值能小于任意给定的正数$ϵ$。而很小的数如百万分之一，就不能小于任意给定的正数$ϵ$。例如取$ϵ$等于千万分之一，则百万分之一就不能小于这个给定的$ϵ$。但零是可以作为无穷小的唯一常数，因为如果$f(x)\equiv 0$，那么对于任意给定的正数$ϵ$，总有$|f(x)|<ϵ$

无穷大

定义

设函数$f(x)$在$x_0$的某一去心领域内有定义（或$|x|$大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数$M$（不论它多么大），总存在正数$\delta$（或正数$X$），只要$x$适合不等式$0<|x-x_0|<\delta$（或$|x|>X$），对应的函数值$f(x)$总满足不等式$$|f(x)|>M,$$则称函数$f(x)$为当$x\to x_0$(或$x\to \infty$)时的无穷大。

无穷小的比较

两个无穷小的和、差及乘积仍旧是无穷小。
但是，关于两个无穷小的商，却会出现不同的情况。例如，当$x\to 0$时，$3x、x^2、\sin x$都是无穷小，而
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{3x}=0，\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3x}{x^2}=\infty ，\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$
两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢程度”。

设$\alpha 、\beta$都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且$\alpha ̸=0，\lim \frac{\beta }{\alpha }$也是在这个变化过程中的极限：

1.如果$\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$，就说$\beta$是比$\alpha$高阶的无穷小，记作$\beta =o(\alpha )$。

2.如果$\lim \frac{\beta }{\alpha }=\infty$，就说$\beta$是比$\alpha$低阶的无穷小。

3.如果$\lim \frac{\beta }{\alpha }=c̸=0$，就说$\beta$是与$\alpha$同阶无穷小。

4.如果$\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=c̸=0$，就说$\beta$是关于$\alpha$的$k$阶无穷小。

5.如果$\lim \frac{\beta }{{\alpha }^k}=1$，就说$\beta$是与$\alpha$等阶无穷小，记作$\alpha \sim \beta$。