寻找最远点对（凸包求解）

寻找最远点对

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题目描述

TD走廊里有一关“勇闯梅花桩”，水面上稀稀落落地立着几根柱子。Nova君自认为轻功不错，觉得可以在任意两根柱子之间跳跃，现在他想挑战一次跨越距离最远的两根柱子。请问，最远距离是多少？（由于木桩以横纵坐标形式给出，为了计算方便，避免求平方根，答案只需给出距离的平方即可）

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输入

多组测试数据（组数不超过10），对于每组数据，第一行为一个正整数N，代表梅花桩的个数，接下来N行，每行两个正整数xi， yi分别代表第 i 根桩子的横纵坐标。 （数据在INT范围内）

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输出

对于每组数据，输出一行，为距离最远的两根柱子的距离的平方。

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输入样例

3
1 1
1 2
0 0

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输出样例

5

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题目解析

求出最远的点对，可以化为求出对应的凸包上最远的两个点。

平面凸包的定义：
对一个简单多边形来说，如果给定其边界上或内部的任意两个点，连接这两个点的线段上的所有点都被包含在该多边形的边界上或内部的话，则该多边形为凸多边形 。

解决平面凸包问题有以下两种算法：

一、 Graham扫描法，运行时间为O(nlgn)。

二、 Jarvis步进法，运行时间为O(nh),h为凸包中的顶点数。

博主本题解题思路：

1. 在原始点集中寻找y值最小的点作为第一个点（如果有多个y值相同的点则取x最小的那个）
2. 依照所有其他点相对于第一个点的角度来对它们排序，并重新放入数组
3. 把数组前三个点压入栈内
4. 依次判定新点是否需要路径右转，若右转则将原栈顶出栈并压入新点
5. 最后栈内顺序即是凸多边形所有顶点的逆时针顺序
6. 原始代码使用了遍历法来找出距离最大的两个顶点（更好的方法是用旋转卡壳法，博主将会把两个代码都贴出）

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代码如下（最后使用遍历法求解）：

#include 
#include 
using namespace std;

typedef struct points
{
    long long x;
    long long y;
}point;

point no[1000010];
point stack[1000010];
long long top = 0;

long long distinct(point p1, point p2)
{
    return (p2.y - p1.y)*(p2.y - p1.y) + (p2.x - p1.x)*(p2.x - p1.x);
}

long long direction(point p1, point p2, point p0)
{
    return ((p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y));
}

bool compare(point p1, point p2)
{
    if(direction(p1, p2, no[0]) > 0)
        return 1;
    else if(direction(p1, p2, no[0]) == 0 && distinct(p1, no[0]) < distinct(p2, no[0]))
        return 1;
    return 0;
}

void work(int nn)
{
    long long k = 0;
    for(int i = 1; i < nn; i++)
        if(no[i].y < no[0].y || (no[i].y == no[0].y && no[i].x < no[0].x))
            k = i;
    point temp = no[k];
    no[k] = no[0];
    no[0] = temp;
    sort(no + 1, no + nn, compare);
    top = 2;
    stack[0] = no[0];
    stack[1] = no[1];
    stack[2] = no[2];
    for(int i = 3; i < nn; i++)
    {
        while(top > 1 && direction(no[i], stack[top], stack[top-1]) >= 0)
            top--;
        stack[++top] = no[i];
    }
}

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d", &n))
    {
        long long ans = -110;
        for(int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%lld%lld", &no[i].x, &no[i].y);
        work(n);
        for(int i = 0; i <= top; i++)
            for(int p = i + 1; p <= top; p++)
                if(distinct(stack[i], stack[p]) > ans)
                    ans = distinct(stack[i], stack[p]);
        printf("%lld\n", ans);
    }
}

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下面是使用旋转卡壳法的代码：

等待更新ing

参考：
http://www.cnblogs.com/Booble/archive/2011/04/03/2004865.html