背包问题，简单明了，快速回忆

问题描述

有N种物品和一个容积为V的背包，每种物品i都有(1,无限,有限k[i])个，都有体积cost[i]和价值value[i]，问如何选取物品使得放入背包的物品价值之和最大。

解决方法

• 画表，横坐标c表示剩余容积，纵坐标i表示物品编号
• 填表，表中的值B(i,c)表示的是在剩余空间为c的情况下，取前i个物品能拿到的最大价值
• 取出B(N,V)即在空间为V的背包中，在前N件物品中挑选所能拿的最大价值，也就是问题的答案

例子

假设有物品A的价值5，代价5。物品B的价值7，代价8，总容量为10，求最大价值

cost	value	i\c	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
5	5	1	0	0	0	0	0	5	5	5	5	5	5/10
8	7	2	0	0	0	0	0	5	5	5	7	7	7/10

• B(1,5) = 5表示在剩余空间为5，只有编号1物品的情况下能拿的最大价值为5；
• B(2,9) = 7 表示在剩余空间为9，编号可选1，2的情况下能拿的最大价值为7；
• 编号是和容量都是从1开始的，0表示没得选或没容量；
• B(1,10)和B(2,10)表示不同规则（同一件物品能拿1次/无限次/有限次），也对应三种背包问题；

如何填表

方法一：直接画二维表

• 创建一个二维数组N+1行V+1列，全初始化为0；
• 两个for循环填过去，其中对于一般的值B[i][c]有三种情况
  • 容量不够，即c < cost[i]
    • B[i][c] = B[i-1][c]
  • 容量够，取最大值
    • 不取
      B[i][c] = B[i-1][c]
    • 取
      B[i][c] = B[i-1][c-k·cost[i]]+k·value[i]

1. 装不下去和不取结果都是取上一行即不存在i的情况下的值B[i-1][c]。
2. 把剩余空间看成所需空间，你要装i，那么你所需的空间就要加上k倍的cost[i]，并且值加上value[i]。
3. k意思是取几个i,其范围(1、1-V/cost[i]、1-k[i])取决于哪种背包问题，通过for循环遍历整个k并选择最大作为结果

方法二：用一维数组

二维数组是一行一行更新，如果不在意前面怎么取的话可以用一个一维数组，每次更新一维数组即一行，更新i次，更新完取最后个值即答案

• 两次for循环，其中都是i从1到N，对于每个c，遍历所有k取下面情况的最大值
  • 容量不够或者不取
    • B[i]不动，还是上个值
  • 取
    • B[i] = B[i-k·cost[i]]+k·value[i]
    • 其中当k只能为1时,c必须从后往前遍历，c取[N,1]
    • 其他情况下,c从前往后遍历，c取[1,N]

1. 当k限制为1即0-1背包问题时，因为如果c顺序是从前往后，会出现：首先前cost[i]-1肯定不变，因为装不下，然后填充cost[i]到2倍的cost[i]-1时也没问题，可接下去填充2·cost[i]时，需要用到上一行cost[i]的值，此时已被替代成拿一个i的情况了，所以不行。
2. 其他情况下,前面说过，当填2·cost[i]时，这里需要的就是可以拿多个的情况，必须要更新后的值，所以是从前往后。