P5017 摆渡车题解报告

再给普及选手讲课时遇到的一道dp好题。
为什么好——多重解法

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题目描述

有 nn 名同学要乘坐摆渡车从人大附中前往人民大学，第 ii 位同学在第 t_it
i
​ 分钟去 等车。只有一辆摆渡车在工作，但摆渡车容量可以视为无限大。摆渡车从人大附中出发、 把车上的同学送到人民大学、再回到人大附中（去接其他同学），这样往返一趟总共花费mm分钟（同学上下车时间忽略不计）。摆渡车要将所有同学都送到人民大学。

凯凯很好奇，如果他能任意安排摆渡车出发的时间，那么这些同学的等车时间之和最小为多少呢？

注意：摆渡车回到人大附中后可以即刻出发。

输入输出格式

输入格式：
第一行包含两个正整数 $n,m.n,m，$以一个空格分开，分别代表等车人数和摆渡车往返 一趟的时间。
第二行包含 $n$个正整数，相邻两数之间以一个空格分隔，第 $i$ 个非负整数 $t_i$ ​ 代 表第 $i$ 个同学到达车站的时刻。

输出格式：
输出一行，一个整数，表示所有同学等车时间之和的最小值（单位：分钟）。

输入输出样例

输入样例#1： 复制
5 1
3 4 4 3 5
输出样例#1： 复制
0
输入样例#2： 复制
5 5
11 13 1 5 5
输出样例#2： 复制
4
对于 100% 的数据，$n\le 500,m\le 100,0\le t_i\le 4\ast 10^{6}n\le 500,m\le 100,0\le t_i\le 4\times 10^6$。

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解题思路

首先，我们发现这道题贪心不行。
然后决定是$dp$!
我们考虑$dp[i][j]$表示在第i分钟，有j个人在等车的最优解。
$a[i]表示在i时刻等车的人数$
$sum[i]为a[i]的前缀和$
$tim[i]为直到i时刻，之前所有人等车时间之和，即sum[i]的前缀和$
我们有两种决策：1 等 2 不等
等： $dp[i+1][j+a[i+1]]=max(dp[i+1][j+a[i+1]],dp[i][j]+j)$
不等:$dp[i+m][sum[i+m]-sum[i]]=min(dp[i+m][sum[i+m]-sum[i]],dp[i][j]+tim[i+m]-tim[i]-sum[i]\ast m)$
然后！TLE在挥手我们需要优化它。
只有500个人却分布在4e6的时间线上？就是说司机总是在等人（搓炉石）
然后我们把两人之间大于$2m$的时间使用一些膜法（-1s）消除掉！
为什么是$2m$？

在这种情况下，我们发现有可能转移$2m$是最优的，所以我们保留2m的时间。
这样我们就可以优化为$O(2n{m}^2)$啦！
最后边界问题，因为我们可能不是结束与tmax（最后一波人要等一会），所以预处理边界都是tmax+m。然后对于dp时，我们只需要记录个spc来更新答案。