关于同构关系的一些证明(1)
定义一种集合乘法 X Y = { x y ∣ x ∈ X , y ∈ Y } XY=\{xy|x\in X,y\in Y\} XY={xy∣x∈X,y∈Y}.
那么我们可以看见若 H ⩽ G H\leqslant G H⩽G,则 H H = { h h ′ ∣ h , h ′ ∈ H } = { h ∣ h ∈ H } = H HH=\{hh'|h,h'\in H\}=\{h|h\in H\}=H HH={hh′∣h,h′∈H}={h∣h∈H}=H.
特别的,若集合中只有一个元素,那么可以这么写 { a } H = a H = { a h ∣ h ∈ H } \{a\}H=aH=\{ah|h\in H\} {a}H=aH={ah∣h∈H}.
现在我们可以用这种乘法书写了.
Theorem 1 \text{Theorem 1 } Theorem 1 H ◃ G H\triangleleft G H◃G,当且仅当 g H = H g gH=Hg gH=Hg.
证明: H = g − 1 H g H=g^{-1}Hg H=g−1Hg,显然正规子群的共轭仍然是原来的正规子群.
Lemma \text{Lemma } Lemma 若 H ◃ G H\triangleleft G H◃G,那么任意集合在集合乘法中与 H H H可交换.
Definition 定 义 G / H = { a H ∣ a ∈ G } , 其 中 H ◃ G . \text{Definition }定义G/H=\{aH|a\in G\},其中H\triangleleft G. Definition 定义G/H={aH∣a∈G},其中H◃G.
Theorem 2 G / H \text{Theorem 2 }G/H Theorem 2 G/H是群,称作商群.
H H H是 G / H G/H G/H的幺元, a H aH aH的逆元是 a − 1 H a^{-1}H a−1H,若 a H , b H ∈ G / H , aH,bH\in G/H, aH,bH∈G/H,那么 a H b H = a b H H = ( a b ) H ∈ G / H aHbH=abHH=(ab)H\in G/H aHbH=abHH=(ab)H∈G/H,也容易验证结合律,从而 G / K G/K G/K是群.
显然 G / H G/H G/H的每一个元素都是群 G G G的一个陪集,由拉格朗日定理商群的阶 [ G : H ] = ∣ G ∣ ∣ H ∣ \displaystyle [G:H]=\frac{|G|}{|H|} [G:H]=∣H∣∣G∣.
Example \text{Example } Example Z / < m > = Z m Z/\left<m\right>=Z_m Z/⟨m⟩=Zm.
Theorem 3 \text{Theorem 3 } Theorem 3 正规子群与某个群同态的核一一对应.
证明:设正规子群 K ◃ G K\triangleleft G K◃G,定义自然映射
π : G → G / K g ↦ g K \pi:\begin{array}{ccc} G&\to&G/K\\ g&\mapsto&gK \end{array} π:Gg→↦G/KgK
显然 ker π = { π ( g ) = g K = K } = K \ker \pi=\{\pi(g)=gK=K\}=K kerπ={π(g)=gK=K}=K,下面定理给出必要性.
Theorem 4 (First Isomorphism Theorem,群同构第一定理) \text{Theorem 4 (First Isomorphism Theorem,群同构第一定理)} Theorem 4 (First Isomorphism Theorem,群同构第一定理)
如果 f : G → H f:G\to H f:G→H是一个群同态,那么 ker f ◃ G \ker f\triangleleft G kerf◃G且 G / ker f ≅ i m f G/\ker f\cong \mathrm{im} f G/kerf≅imf.
证明:由 ker f \ker f kerf的性质,若 g ∈ ker f g\in\ker f g∈kerf,则 f ( g ) = e f(g)=e f(g)=e,于是 f ( h − 1 g h ) = f − 1 ( h ) e f ( h ) = e f(h^{-1}gh)=f^{-1}(h)ef(h)=e f(h−1gh)=f−1(h)ef(h)=e,从而 ker f ◃ G \ker f\triangleleft G kerf◃G.
i m f \mathrm{im}f imf显然是一个群,群同构第一定理现在在说这样一件事, f f f是同态,那么 f = f ∗ ∘ π = π f ∗ f=f^*\circ\pi =\pi f^* f=f∗∘π=πf∗,即把 f f f分解为核的商群和一个新映射,则这个映射是同构.
Theorem 5 (Second Isomorphism Theorem,群同构第二定理) \text{Theorem 5 (Second Isomorphism Theorem,群同构第二定理)} Theorem 5 (Second Isomorphism Theorem,群同构第二定理)
如果 K ◃ G K\triangleleft G K◃G,则任意一个 H ⩽ G H\leqslant G H⩽G有 H K ⩽ G , H ∩ K ◃ G HK\leqslant G,H\cap K\triangleleft G HK⩽G,H∩K◃G,此时有
H / ( H ∩ K ) ≅ H K / K H/(H\cap K)\cong HK/K H/(H∩K)≅HK/K
证明:显然 H ∩ K ⩽ K H\cap K\leqslant K H∩K⩽K,再有正规子群的子群仍然是正规子群.而 K ◃ H K K\triangleleft HK K◃HK的证明的平凡的.
我们发现 H K / K HK/K HK/K其实上就是 { h K ∣ h ∈ H } \{hK|h\in H\} {hK∣h∈H}.
由定理三,存在一个自然同态 π \pi π的核是 K K K,对核做在 H H H集合上的限制得到一个新的自然映射 π ′ : H → H / ( H ∩ K ) \pi':H\to H/(H\cap K) π′:H→H/(H∩K),那么 i m π ′ = H K / K \mathrm{im} \pi'=HK/K imπ′=HK/K,从而由群同构第一定理 H / ( H ∩ K ) ≅ H K / K H/(H\cap K)\cong HK/K H/(H∩K)≅HK/K.
限制这个名词比较奇妙,思考一会我们可以观察到群同构第二定理和第一定理之间的关系.
群同构第一定理的特例是 G / K = { x K ∣ x ∈ G } = G / K G/K=\{xK|x\in G\}=G/K G/K={xK∣x∈G}=G/K,
而群同构第二定理是 ( G ∩ H ) / ( K ∩ H ) = H / ( H ∩ K ) = { x K ∣ x ∈ G ∩ H } = { x K ∣ x ∈ H } = H K / K (G\cap H) /(K\cap H)=H/(H\cap K)=\{xK|x\in G\cap H\}=\{xK|x\in H\}=HK/K (G∩H)/(K∩H)=H/(H∩K)={xK∣x∈G∩H}={xK∣x∈H}=HK/K,恰是 G G G上的一个商群导出了 H ⩽ G H\leqslant G H⩽G上的一个商群.
Lemma \text{Lemma } Lemma 两侧由拉格朗日定理可以得到一个很有用的公式 [ H : H ∩ K ] = [ H K : K ] , ∣ H ∣ ∣ K ∣ = ∣ H K ∣ ∣ H ∩ K ∣ [H:H\cap K]=[HK:K],|H||K|=|HK||H\cap K| [H:H∩K]=[HK:K],∣H∣∣K∣=∣HK∣∣H∩K∣.
Theorem 6.1 (Correspondence Theorem,群同构第三定理) \text{Theorem 6.1 (Correspondence Theorem,群同构第三定理)} Theorem 6.1 (Correspondence Theorem,群同构第三定理)设 K ◃ G K\triangleleft G K◃G,那么设 S u b ( G ; K ) = { X ∣ K ⊂ X ⩽ G } \mathrm{Sub}(G;K)=\{X|K\subset X\leqslant G\} Sub(G;K)={X∣K⊂X⩽G},则所有这样的子群和 G / K G/K G/K的子群有一个一一对应的关系.
证明:定义一个显然的映射:
Φ : S u b ( G ; K ) → S u b ( G / K ; ∅ ) S ↦ S / K \Phi:\begin{array}{ccc} \mathrm{Sub}(G;K)&\to&\mathrm{Sub}(G/K;\varnothing)\\ S&\mapsto&S/K \end{array} Φ:Sub(G;K)S→↦Sub(G/K;∅)S/K
首先 Φ \Phi Φ是一个单射,如果 K ⩽ S ⩽ G K\leqslant S\leqslant G K⩽S⩽G,那么 ( π − 1 ∘ π ) ( S ) = S (\pi^{-1}\circ \pi)(S)=S (π−1∘π)(S)=S.
首先对于每一个 s ∈ S s\in S s∈S, π ( s ) = s K ∈ S / K \pi (s)=sK\in S/K π(s)=sK∈S/K,显然 s ∈ π − 1 ( s K ) s\in \pi^{-1}(sK) s∈π−1(sK),从而 S ⊂ ( π − 1 ∘ π ) ( S ) S\subset(\pi^{-1}\circ\pi)(S) S⊂(π−1∘π)(S).
其次对于每一个 a ∈ π − 1 π S a\in \pi^{-1}\pi S a∈π−1πS,有 π ( a ) = s K \pi(a)=sK π(a)=sK,对于某一个 s ∈ S s\in S s∈S,从而有某一个 k ∈ K k\in K k∈K, s k = a sk=a sk=a,但因为 K ⩽ S ⩽ G K\leqslant S\leqslant G K⩽S⩽G,于是 a ∈ S a\in S a∈S.
所以如果 π ( S ) = π ( T ) \pi(S)=\pi(T) π(S)=π(T).那么 S = T S=T S=T,从而 Φ \Phi Φ是单射( Φ \Phi Φ也是一个自然映射的集合形式).
其次 Φ \Phi Φ是一个满射,如果 K ⩽ S ⩽ G K\leqslant S\leqslant G K⩽S⩽G,那么 ( π ∘ π − 1 ) ( S / K ) = S / K (\pi \circ \pi^{-1})(S/K)=S/K (π∘π−1)(S/K)=S/K.
首先对于每一个 s ∈ S , 有 s K ∈ S / K , s ∈ π − 1 ( s K ) , π ( s ) = s K ∈ S / K s\in S,有sK\in S/K,s\in\pi^{-1}(sK),\pi(s)=sK\in S/K s∈S,有sK∈S/K,s∈π−1(sK),π(s)=sK∈S/K,从而 S / K ⊂ ( π ∘ π − 1 ) ( S / K ) S/K\subset (\pi \circ \pi^{-1})(S/K) S/K⊂(π∘π−1)(S/K).
其次对于每一个 a K ∈ π π − 1 S / K aK\in \pi\pi^{-1} S/K aK∈ππ−1S/K,有 A = A 1 ∪ A 2 = π − 1 ( a K ) A=A_1\cup A_2=\pi^{-1}(aK) A=A1∪A2=π−1(aK),其中 A 1 ⊂ S A_1\subset S A1⊂S, A 2 ∩ S = ∅ A_2\cap S=\varnothing A2∩S=∅.容易证明 A 2 = ∅ A_2=\varnothing A2=∅,从而显然 π π − 1 S / K ⊂ S / K \pi\pi^{-1} S/K\subset S/K ππ−1S/K⊂S/K.
从而 Φ \Phi Φ是满射.
由上,所有的子群和 G / K G/K G/K的子群有一个一一对应的关系.
Theorem 6.2 \text{Theorem 6.2 } Theorem 6.2 K ⩽ S ⩽ T ⩽ G K\leqslant S\leqslant T\leqslant G K⩽S⩽T⩽G,当且仅当 S / K ⩽ T / K S/K\leqslant T/K S/K⩽T/K,此时 [ S : T ] = [ S / K : T / K ] [S:T]=[S/K:T/K] [S:T]=[S/K:T/K].
K ◃ S ◃ T ◃ G K\triangleleft S\triangleleft T\triangleleft G K◃S◃T◃G,当且仅当 S / K ◃ T / K S/K\triangleleft T/K S/K◃T/K,此时 S / T ≅ ( S / K ) / ( T / K ) S/T\cong (S/K)/(T/K) S/T≅(S/K)/(T/K).
证明:略.