【ACM】向量的叉乘(求面积)

在直角坐标系,假设 i⃗ ,j⃗ ,k⃗  i → , j → , k → 分别是x轴,y轴,z轴上的单位向量。叉乘积的方向垂直于这两个向量构成的平面,大小表示这两个向量构成的平行四边形的面积。

假设

OP1=(x1,y1,z1)OP2=(x2,y2,z2)OP1OP2=(y1z2y2z1)i⃗ +(x2z1x1z2)j⃗ +(x1y2x2y1)k⃗  O P 1 → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) , O P 2 → = ( x 2 , y 2 , z 2 ) O P 1 → ∗ O P 2 → = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) i → + ( x 2 z 1 − x 1 z 2 ) j → + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) k →

因此叉乘的模为

|OP1OP2|=y1z2y2z1+(x2z1x1z2)+(x1y2x2y1) | O P 1 → ∗ O P 2 → | = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) + ( x 2 z 1 − x 1 z 2 ) + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 )

三角形面积
假设三角形的三个顶点是 A(x0,y0,z0),B(x1,y1,z1),C(x2,y2,z2) A ( x 0 , y 0 , z 0 ) , B ( x 1 , y 1 , z 1 ) , C ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,我们将三角形的两条边AB,AC看成是向量,然后以A为原点,进行坐标平移,得到向量 OB(x1x0,y1y0,z1z0)OC(x2x0,y2y0,z2z0) O B ( x 1 − x 0 , y 1 − y 0 , z 1 − z 0 ) , O C ( x 2 − x 0 , y 2 − y 0 , z 2 − z 0 )
三角形的面积为叉乘模的 12 1 2

①三维坐标

|OBOC|=((y1y0)(z2z0)+(z1z0)(x2x0)+(x1x0)(y2y0))((y2y0)(z1z0)+(z2z0)(x1x0)+(x2x0)(y1y0)) | O B → ∗ O C → | = ( ( y 1 − y 0 ) ∗ ( z 2 − z 0 ) + ( z 1 − z 0 ) ∗ ( x 2 − x 0 ) + ( x 1 − x 0 ) ∗ ( y 2 − y 0 ) ) − ( ( y 2 − y 0 ) ∗ ( z 1 − z 0 ) + ( z 2 − z 0 ) ∗ ( x 1 − x 0 ) + ( x 2 − x 0 ) ∗ ( y 1 − y 0 ) )

②二维坐标
在二维的情况下,取平面 z=0 z = 0 ,即 z1=z2=0 z 1 = z 2 = 0

|OBOC|=(x1x0)(y2y0)(x2x0)(y1y0) | O B → ∗ O C → | = ( x 1 − x 0 ) ∗ ( y 2 − y 0 ) − ( x 2 − x 0 ) ∗ ( y 1 − y 0 )

交叉相乘相减。

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