【ACM】向量的叉乘（求面积）

在直角坐标系，假设 i⃗ ,j⃗ ,k⃗  i → , j → , k → 分别是x轴，y轴，z轴上的单位向量。叉乘积的方向垂直于这两个向量构成的平面，大小表示这两个向量构成的平行四边形的面积。

假设

OP1→=(x1,y1,z1)，OP2→=(x2,y2,z2)OP1→∗OP2→=(y1z2−y2z1)i⃗ +(x2z1−x1z2)j⃗ +(x1y2−x2y1)k⃗  O P 1 → = ( x 1 , y 1 , z 1 ) ， O P 2 → = ( x 2 , y 2 , z 2 ) O P 1 → ∗ O P 2 → = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) i → + ( x 2 z 1 − x 1 z 2 ) j → + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) k →

因此叉乘的模为

|OP1→∗OP2→|=（y1z2−y2z1）+(x2z1−x1z2)+(x1y2−x2y1) | O P 1 → ∗ O P 2 → | = （ y 1 z 2 − y 2 z 1 ） + ( x 2 z 1 − x 1 z 2 ) + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 )

三角形面积
假设三角形的三个顶点是 A(x0,y0,z0),B(x1,y1,z1),C(x2,y2,z2) A ( x 0 , y 0 , z 0 ) , B ( x 1 , y 1 , z 1 ) , C ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，我们将三角形的两条边AB，AC看成是向量，然后以A为原点，进行坐标平移，得到向量 OB(x1−x0,y1−y0,z1−z0)，OC(x2−x0,y2−y0,z2−z0) O B ( x 1 − x 0 , y 1 − y 0 , z 1 − z 0 ) ， O C ( x 2 − x 0 , y 2 − y 0 , z 2 − z 0 ) 。
三角形的面积为叉乘模的 12 1 2 。

①三维坐标

|OB→∗OC→|=((y1−y0)∗(z2−z0)+(z1−z0)∗(x2−x0)+(x1−x0)∗(y2−y0))−((y2−y0)∗(z1−z0)+(z2−z0)∗(x1−x0)+(x2−x0)∗(y1−y0)) | O B → ∗ O C → | = ( ( y 1 − y 0 ) ∗ ( z 2 − z 0 ) + ( z 1 − z 0 ) ∗ ( x 2 − x 0 ) + ( x 1 − x 0 ) ∗ ( y 2 − y 0 ) ) − ( ( y 2 − y 0 ) ∗ ( z 1 − z 0 ) + ( z 2 − z 0 ) ∗ ( x 1 − x 0 ) + ( x 2 − x 0 ) ∗ ( y 1 − y 0 ) )

②二维坐标
在二维的情况下，取平面 z=0 z = 0 ，即 z1=z2=0 z 1 = z 2 = 0 。

|OB→∗OC→|=(x1−x0)∗(y2−y0)−(x2−x0)∗(y1−y0) | O B → ∗ O C → | = ( x 1 − x 0 ) ∗ ( y 2 − y 0 ) − ( x 2 − x 0 ) ∗ ( y 1 − y 0 )

交叉相乘相减。