博弈算法——SG函数和SG定理（还有斐波那契和nim两个坑）

目录

一、斐波那契博弈：

二、巴什博奕（Bash Game）：

三、威佐夫博弈：

四、尼姆博弈：

五、SG函数：

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一、斐波那契博弈：

描述：有一堆物品，两人轮流取物品，先手最少取一个，至多无上限，但不能把物品取完，之后每次取的物品数不能超过上一次取的物品数的2倍且至少为一件，取走最后一件物品的人获胜。

结论：当 n是斐波那契数 时后手获胜（n为物品总数）。

原理：有两个智者——郭大彪和钟大锤，他们对于博弈已经烂熟于心了。所以每次都可以找到最好的对自己有利的走法。

          在这里，我们要借助一个定理——齐肯多夫定理，齐大爷说：“任何正整数可以表示为若干个不连续的斐波那契数之和。”至于为什么，我们剧场由于穷，请不到齐大爷来讲解，就不解释了，大家记住结论就好；还要借助斐波那契数列的性质——任意一个斐波那契数f[k]都小于f[k-1]的两倍，都大于f[k-n](n>1)的两倍。

          接下来证明斐波那契后手必胜的原因（数学归纳）：

               1）当n=2或3时，后手必胜显然成立；

              2）假设对k堆前的斐波那契可以确定后手必胜，当n=f[k+1]时，我们可以人为的把它分为它前面两个斐波那契数的堆，记为k堆和k-1堆，则对于k-1堆，后手必可取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数x的情况：如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3，则这小堆所剩的石子数小于2y，即后手可以直接取完，此时x=f[k-1]-y，则x<=2/3*f[k-1]。我们来比较一下2/3*f[k-1]与1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]与3*f[k]的大小，由数学归纳法不难得出，后者大。所以我们得到，x<1/2*f[k]。即后手取完k-1堆后，先手不能一下取完k堆，所以游戏规则没有改变，则由假设可知，对于k堆，后手仍能取到最后一颗，所以后手必胜。即i=k+1时，结论依然成立。

   非斐波那契后手必败先挖坑

典例：杭电2516

 

二、巴什博奕（Bash Game）：

描述：只有一堆n个物品，两个人轮流从中取物，规定每次取数区间[s,m]，当然如果少于s那么必须一次取完，最后取光者为胜。

结论：如果 0 后手获胜。

详解：假设大彪（先）和大锤（后）两人又开始进行一场巴什博奕。

           如果有(s,s+m]个物品，那么必然导致大锤的胜利：因为无论大彪取多少，都无法取完；而大锤后手就可以把剩下的都拿走。而对于每个n我们都可以用n=(s+m)*x+t表示（当t为0时大锤也必胜）。故而我们对t讨论：称0和(s,s+m]为大锤的有利局势，而[1,s]为大彪的有利局势。

            早在一开始聪明的大彪和大锤就已经知道了结果，所以无论一开始的局面对谁有利（假如对大锤有利，那么大彪先手取A，大锤每次取走(s+m-A)以维持自己的有利局势；假如对大彪有利，那么大彪先手取走s，此后开始针对大锤，取走(s+m-大锤取的数)）。

           因为大彪和大锤都寻求自己的最有利状态，所以最终结果取决于t！

典例：杭电2897

 

三、威佐夫博弈：

描述：有两堆各若干的物品，两人轮流从其中一堆取至少一件物品，至多不限，或从两堆中同时取相同件物品，规定最后取完者胜利。

结论：若两堆物品的初始值为(x,y)，令z=|y-x|；记 w=(int)[((sqrt(5)+1)/2)*z]；若w==min(x,y)，则后手获胜。

原理：在威佐夫博弈中我们引入一个概念——奇异局势。前几个奇异局势是（0,0）（1,2）（3,5）（4,7）（6,10）……

           容易看出，奇异局势即（a[k],b[k]），a为此前没有出现过的自然数，b[k]=a[k]+k（k为奇异局势的序号，从〇开始）。而奇异局势的公式表示为a[k] =(k（1+√5）/2)，b[k[= a[k] +  k 。

           那么对于奇异局势，后手必胜；否则，先手必胜！为什么呢？

           因为按照所给出的两种操作，都只能使奇异局势变为非奇异局势，或使非奇异局势变为奇异局势；而且必然可以使奇异局势变为非奇异局势，或使非奇异局势变为奇异局势。

           我们再次有请锤（先）彪（后）两位智者来演示下：对于一个非奇异局势，大锤可以用一步使其变为奇异局势，而接下来，对于奇异局势，总有偶数次操作使其变为（0,0），从而导致大彪的失败。

典例：杭电1527、杭电2177

 

四、尼姆博弈：

描述：有任意堆物品，每堆物品的个数是任意的，双方轮流从中取物品，每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，取到最后一件物品的人获胜。

结论：把每堆物品数全部异或起来，如果得到的值为0，那么后手获胜。

原理：首先我们引入P、N两种状态，P即previous（先手必败）、N即next（后手必败）。有点迷哈，为什么要定义必败而不是必胜态~接下来几个定义：

                    1）无法移动（即最终目的）为P态

                    2）可以移动到P态的局面都是N态

                    3）所有移动都会导致N态的局面是P态（即P和N互相转换，不能由N\P一步到N\P）

            还有就是:对于任意一个数的二进制做减法，我们都可以1）使它的某一位由1到0，2）同时可以选择该其后一位数字。

           然后开始推导：已知每堆均为0是P（先手必败）态。

典例：杭电1850、杭电1849

五、SG函数：

描述：组合博弈的解决办法

结论：组合博弈的结果相当于各分博弈的结果的Nim和

         引入一个mex运算：它的作用是找出一堆数中还没有出现的首个自然数。例如：mex{1,2,3}=0、mex{0,1,5}=2;

        那么SG[x]=mex{S},S表示x后继状态的SG值的集合。例如x有后继状态a,b,c，那么SG[x]=mex{SG[a],SG[b],SG[c]}。而最终，S必然会成为空集，所以SG的终态为SG[x]=0(当且仅当x为必败点)。

         吐槽：叫个什么鬼的后继状态，害得我一直懵逼，其实就是n粒米饭吃了m粒，n-m称为n的后继状态。[○･｀Д´･ ○]

典例：杭电1048

详解：这里再结合杭电1048讲解一下：

           对于任意一堆石子（n个）：有斐波那契（下简称F[] ）的取法（n<1000,所以注意上限）

           当x=0时，先手败，SG[0]=0;

           当x=1时，可以取走F[1]，剩余0，所以0是1的后继状态，故SG[1]=mex{SG[0]}=mex{0}=1;

           当x=2时，可以取走F[1]或F[2]，剩余1或0，所以0和1是2的后继状态，故SG[2]=mex{SG[0]，SG[1] }=mex{0,1}=2;

           当x=3时，可以取走{1,2,3}，剩余2,1或0，所以0和1,2是3的后继状态，故SG[3]=mex{0,1,2}=3;

           当x=4时，可以取走{1,2,3}，剩余1,2或3，所以3和1,2是4的后继状态，故SG[4]=mex{1,2,3}=0;

           当x=5时，可以取走{1,2,3,5}，剩余0,2,3或4，所以0,2,3和4是5的后继状态，故SG[5]=mex{0,2,3}=1;

           以此类推……

贴上代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int F[20],SG[1010],S[1010];
//SG[]:0~n的SG函数值
//S[]:为x后继状态的集合
void getSG(int n)
{
	int i,j;
	memset(SG,0,sizeof(SG));//
	for(i=1;i<=n;i++)//SG[0]必为0  故从1开始 
	{
		memset(S,0,sizeof(S));//每次斗殴要将上次的后继状态清空 
		for(j=0;F[j]<=i&&j<20;j++) S[SG[i-F[j]]]=1;//记录本次的后继状态 
		for(j=0;;j++) if(!S[j]) //模拟mex运算 如果某个自然数未出现 
		{
			SG[i]=j;//则记为该自然数。 
			break;//
		}
	}
}
int main()
{
	int n,m,k;
	F[0]=F[1]=1;
	for(int i=2;i<=16;i++) F[i]=F[i-1]+F[i-2];//构建可以取的方式 
	getSG(1000);//打表SG 
	while(cin>>m>>n>>k&&m)
	{
		if(SG[n]^SG[m]^SG[k]) printf("Fibo\n");
		else cout<<"Nacci\n"; 
	}
}

<写得头昏脑涨，有问题请谅解并联系在下>