神奇的向量旋转

在计算几何中最常用的就是向量(叉积) 
今天来一起研究一下向量的旋转: 

首先考虑一个向量 p = (x,y) , 那么它写成坐标的形式就是x+iy,这个就是P点在复平面的坐标. 

问题: 假设现在有一个角度d,并且使向量p沿逆时针方向旋转d角度并且不改变其模的大小.请问旋转后 的向量p'是什么呢? 

问题分析: 

简单举例..... 
对于一个向量p (1,0),使它向逆时针旋转90度,并且不改变其模的大小,我们会很清楚的画出,这个变化后的向量就是p' (0,1),我们把它们都恢复的一般形式,原向量(1,0) --- 1 + i * 0, 新向量(0,1) --- 0 + i * 1,我们不难发现把原来的向量p的一般形式乘以一个i,然后整理就会得到新的向量p'的坐标一般形式....进一步想象,i是什么呢? i = cos(90) + i*sin(90);那也就是说可以得出这样一个结论: 

对于一个向量p : x + i * y 来说,如果向逆时针旋转d角度的话,新的向量p'应该是向量p的一般表达式(x+i*y)乘以cos(d)+i*sin(d) ,然后整理得出一个结果,将i的系数看成p'的复数部分，将其他部分看成p'的整数部分,由于又要保证它的大小不改变,所以我们只要保证乘的向量的模大小要为1,恰巧cos(d)+i*sin(d)全部满足. 

所以说对于p = (x,y)这个向量向逆时针旋转且大小不改变所得到的向量如下: 

p: (x,y) --------> p': ( x*cos(d)-y*sin(d) , x*sin(d)+y*cos(d) )

如果是向顺时针旋转则: 

p: (x,y) --------> p': ( x*cos(-d)-y*sin(-d) , x*sin(-d)+y*cos(-d) )

此重要结论可以运用到计算几何中,效果很明显.