计算几何之凸包----Graham扫描法

计算几何之凸包(convexHull)----Graham扫描法

关于凸包的严格定义，这里不打算写出来，大家可以自行Google或者百度，因为严格的数学定义反而不太好理解，用最通俗的话来解释凸包：给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有的点。如图所示(图片来自wiki)

凸包最常见的应用是求平面上距离最远的两个点，一般有两种算法来计算包含n个点的点集的凸包。这种两种算法都是按逆时针方向的顺序输出凸包。第一种算法就是接下来要介绍的Graham扫描法(Graham's scan),时间复杂度为O(nlgn)。第二种算法是Jarvis步进法(Jarvis march),时间复杂度为O(nh),其中h为凸包顶点的个数。第二种算法下次介绍，先介绍Graham扫描法(Graham's scan)：

Graham扫描法主要用一个栈来解决凸包问题，点集Q中每个点都会进栈一次，不符合条件的点会被弹出，算法终止时，栈中的点就是凸包的顶点(逆时针顺序在边界上)。该算法具体步骤为：

先给出算法导论中的算法步骤：

下面是我自己理解的步骤：

1、先选出点集中y坐标最小的点记为,

如果y坐标相同则相同点中x坐标最小的点。

2、把按照极角(polar angle)从小到大排序(以  为极点)，极角相同的点按照到的距离从小到大排序。

3、把压入栈。

4、遍历剩下的点,while循环把发现不是凸包顶点的点移除出去，因为当逆时针遍历凸包时，我们应该在每个顶点向左转。因此当while循环发现在一个顶点处没有向左转时，就把该顶点移除出去。至于如何判断向左向右则是根据叉积来判断，好吧，看来又出现了一个新概念，又要介绍下叉积。。。。其实对极角排序，也是根据叉积来判断的。如下图所示的向量和我们可以把叉积理解为由点(0,0)，，和+=所构成的平行四边形有向面积.

比较简洁的定义是矩阵行列式：,若值为正，则相对原点来说，在右侧(顺时针方向)，若值为负，在左侧(逆时针方向)。所以相对公共端点，可以计算叉积

如果叉积为正，在右侧。为负，在左侧。好吧。。。终于把叉积介绍完了，只能说画图写公式真的很费时间，所以请尊重原创，真的不容易！！！

下面介绍如何用叉积确定向左转还是向右转，其实把上面的叉积介绍了下，也差不多了，因为凸包顶点必然都是向左转，不能向右转。简答贴一段算法导论中的介绍，脑补一下吧：

基本上把叉积介绍完了，回到寻找凸包上，把graham扫面的算法也介绍了，这时候其实已经可以撸代码了，但是为了让路过的同学更清晰明白算法的执行过程，放个步骤图：

看完步骤图应该很清晰明了，希望能帮助大家。

下面给出模板代码：放在了GitHub上:https://github.com/tz28/ConvexHull

具体应用请关注下一篇博客。http://blog.csdn.net/u012328159/article/details/50809277