有限体积法（1）——一维扩散方程的推导

对于变量$\varphi$的输运方程为：

$$\frac{\partial (\rho \varphi )}{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \varphi \mathbf{u})=\nabla \cdot (\Gamma \nabla \varphi )+S_{\varphi }\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中，$\Gamma$为扩散系数。
方程$(1)$从左到右的各项分别是时间项、对流项、扩散项和源项。将方程$(1)$中略去时间项和对流项就是稳态扩散方程：
$$\nabla \cdot (\Gamma \nabla \varphi )+S_{\varphi }=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

对方程$(2)$在有限控制体内积分，并根据高斯散度定理有，
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{CV}\nabla \cdot (\Gamma \nabla \varphi )dV+{\int }_{CV}{S}_{\varphi }dV\\ & \\ & ={\int }_{\tilde{A}}\mathbf{n}\cdot (\Gamma \nabla \varphi )dA+{\int }_{CV}{S}_{\varphi }dV=0\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中，$\mathbf{n}$为边界面$\tilde{A}$的法向量。
考虑一维模型，扩散方程为
$$\frac{d}{dx}\left(\Gamma \frac{d\varphi }{dx}\right)+S=0\text{\hspace{1em}(4)}$$

要离散方程$(4)$首先要生成网格，如下图，将一维计算域分成5段（即5个网格单元），每个网格单元就是一个有限控制体。两端边界为A和B，每个网格单元有一个节点，如W、P和E，节点一般为网格单元的中心点，也是变量保存的位置。两个相邻节点的中点是网格单元的边界。

网格与边界之间的距离关系如下图，

扩散方程的离散主要包括两个部分：散度的离散和梯度的离散。

散度的离散

根据方程式$(3)$，一维扩散方程$(4)$在控制体单元$\Delta V$（边界为$\tilde{A}$）上的积分有，
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{\Delta V}\frac{d}{dx}\left(\Gamma \frac{d\varphi }{dx}\right)dV+{\int }_{\Delta V}SdV\\ & \\ & ={\int }_{\tilde{A}}\mathbf{n}\cdot \frac{d}{dx}\left(\Gamma \frac{d\varphi }{dx}\mathbf{i}\right)dA+{\int }_{\Delta V}SdV\\ & \\ & ={\left(\Gamma A\frac{d\varphi }{dx}\right)}_e-{\left(\Gamma A\frac{d\varphi }{dx}\right)}_w+\bar{S}\Delta V=0\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

其中，$A$是边界面的面积， $\bar{S}$为控制体单元内的平均值。从上图中可见，在边界$w$处，边界的法向量$\mathbf{n}$是指向x轴负向的，所以$\mathbf{n}\cdot \mathbf{i}=-1$。

梯度的离散

方程式$(5)$仅是半离散方程，需要进一步对梯度项$\frac{d\varphi }{dx}$进行离散。从式中看见，梯度项都是位于单元边界面位置的，而边界处是不保存变量值，边界面两边的节点会保存变量值，因此可以用有限差分法求解边界面的导数，比如用二阶中心差分格式，
$${\left(\Gamma \frac{d\varphi }{dx}\right)}_w={\Gamma }_w\frac{{\varphi }_P-{\varphi }_W}{\delta x_{WP}}\text{\hspace{1em}(6a)}$$

$${\left(\Gamma \frac{d\varphi }{dx}\right)}_e={\Gamma }_e\frac{{\varphi }_E-{\varphi }_P}{\delta x_{PE}}\text{\hspace{1em}(6b)}$$

源项$\bar{S}\Delta V$通常是变量${\varphi }_P$的函数，这里假设为线性关系，即
$$\bar{S}\Delta V=S_u+S_P{\varphi }_P\text{\hspace{1em}(7)}$$

将式$(6a)$、$(6b)$和$(7)$带入到式$(5)$中，
$${\Gamma }_e{A}_e\frac{{\varphi }_E-{\varphi }_P}{\delta x_{PE}}-{\Gamma }_w{A}_w\frac{{\varphi }_P-{\varphi }_W}{\delta x_{WP}}+(S_u+S_P{\varphi }_P)=0\text{\hspace{1em}(8)}$$
重新整理方程式$(8)$得，
$$\left(\frac{{\Gamma }_e}{\delta x_{PE}}+\frac{{\Gamma }_w}{\delta x_{WP}}-S_P\right){\varphi }_P=\left(\frac{{\Gamma }_w}{\delta x_{WP}}\right){\varphi }_W+\left(\frac{{\Gamma }_e}{\delta x_{PE}}\right){\varphi }_E+S_u\text{\hspace{1em}(9)}$$
简化一下，
$$a_P{\varphi }_P=a_W{\varphi }_W+a_E{\varphi }_E+S_u\text{\hspace{1em}(10)}$$
其中各系数为
$$\{\begin{array}{ll}{a}_W& =\frac{{\Gamma }_w}{\delta x_{WP}}\\ & \\ a_E& =\frac{{\Gamma }_e}{\delta x_{PE}}\\ & \\ a_P& =a_W+a_E-S_P\end{array}\text{\hspace{1em}(11)}$$

方程式$(5)$中的扩散系数$\Gamma$有两种方法来计算：算术平均法（相当于线性插值）和调和平均法（详见文献[2]）。这里先采用简单的线性插值来表示，即
$${\Gamma }_w=\frac{{\Gamma }_W+{\Gamma }_P}{2}\text{\hspace{1em}(12a)}$$

$${\Gamma }_e=\frac{{\Gamma }_P+{\Gamma }_E}{2}\text{\hspace{1em}(12b)}$$

参考资料：

1. Versteeg H K , Malalasekera W . An introduction to computational fluid dynamics : the finite volume method = 计算流体动力学导论[M]. 世界图书出版公司, 2010.
2. 陶文铨. 数值传热学-第2版[M]. 西安交通大学出版社, 2001.