脉冲响应不变法将模拟滤波器转换成为数字滤波器的套路

已知一个模拟滤波器系统，要将此模拟滤波器系统转换成为数字滤波器，方法会有很多种，在Matlab中也有专门的函数（impinvar）来实现此功能，如果我们要自己编写算法来做这个过程的话可以考虑使用脉冲响应不变法来实现跟impinvar函数相同的效果。

1】对模拟滤波器进行拉普拉斯逆变换

理论依据是：对传输系统的单位冲击响应求拉普拉斯变换得到的结果就是传输系统的传输函数，因此对传输函数进行拉普拉斯逆变换就是传输系统的单位冲击响应。

2】对单位冲击响应进行采样*时间间隔T，得到等价的脉冲响应序列

理论依据&目的：使用 数字滤波器的响应序列 模仿 模拟滤波器的脉冲响应

3】对得到的数字滤波器脉冲响应序列进行Z变换，得到数字滤波器

理论依据：Z变换就是离散时间信号的拉普拉斯变换，相应目的见第一条

参考网络上脉冲时不变响应法设计IIR滤波器的matlab程序如下：

clear all; clc; close all;
 
bs=[1,1];as=[1,5,6];            % 系统分子分母系数向量
Fs=10; T=1/Fs;                  % 采样频率和采样间隔
[Ra,pa,ha]=residue(bs, as);        % 将模拟滤波器系数向量变为模拟极点和留数
pd=exp(pa*T);                    % 将模拟极点变为数字（z平面）极点pd
[bd,ad]=residuez(T*Ra, pd, ha);    % 用原留数Ra和数字极点pd求得数字滤波器系数
t=0:0.1:3;                      % 时间序列
ha=impulse(bs,as,t);            % 计算模拟系统的脉冲响应
hd=impz(bd,ad,31);              % 数字系统的脉冲响应
% 调用impinvar函数计算数字滤波器系数
[Bd,Ad]=impinvar(bs,as,Fs);
fprintf('bd=%5.4f   %5.4f   ad=%5.4f   %5.4f   %5.4f\n\n',bd,ad);
fprintf('Bd=%5.4f   %5.4f   Ad=%5.4f   %5.4f   %5.4f\n',Bd,Ad);
% 作图
plot(t,ha*T,'r','linewidth',3); hold on; grid on;
plot(t,hd,'k');
legend('模拟滤波器脉冲响应','数字滤波器脉冲响应');
xlabel('时间/s'); ylabel('幅值/dB');
title('原模拟滤波器的脉冲响应与数字滤波器的脉冲响应比较')
set(gcf,'color','w')   

附使用matlab设计滤波器的其他一些demo实例做参考

低通滤波器（可以通过 doc lowpass 在matlab help文档中获取）

clear all;close all;clc;
 
d = fdesign.lowpass('Fp,Fst,Ap,Ast',0.15,0.25,1,60);
Hd = design(d,'equiripple');
designmethods(d)        % 查看可用的设计方法
fvtool(Hd)
 
n = 0:159;
x = (0.25*cos((pi/8)*n)+sin((pi/4)*n));
y = filter(Hd,x);
freq = 0:(2*pi)/160:pi;
xdft = fft(x);
ydft = fft(y);
figureplot(freq/pi,abs(xdft(1:length(x)/2+1)))
hold on
plot(freq/pi,abs(ydft(1:length(y)/2+1)))
hold off
legend('Original Signal','Filtered Signal')
ylabel('Magnitude')
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)')
其中

Ap — amount of ripple allowed in the pass band in decibels (the default units). Also called Apass.
Ast — attenuation in the stop band in decibels (the default units). Also called Astop.
F3db — cutoff frequency for the point 3 dB point below the passband value. Specified in normalized frequency units.
Fc — cutoff frequency for the point 6 dB point below the passband value. Specified in normalized frequency units.
Fp — frequency at the start of the pass band. Specified in normalized frequency units. Also called Fpass.
Fst — frequency at the end of the stop band. Specified in normalized frequency units. Also called Fstop.
N — filter order.
Na and Nb are the order of the denominator and numerator.

高通滤波器、带通滤波器都可以通过同样的方式从matlab help中获取demo代码。

clear all;close all;clc;
 
d = fdesign.highpass('Fst,Fp,Ast,Ap',20,30,60,1,16000);
Hd = design(d,'ifir');
designmethods(d)        % 查看可用的设计方法
fvtool(Hd)
 
% 生成待滤波信号
n = 0:0.00001:1;
x = (3*cos(2000*(2*pi)*n)+sin(10*(2*pi)*n));
y = filter(Hd,x);
 
figure
plot(x)
hold on
plot(y)

根据模拟滤波器的特性参数，设计数字滤波器（巴特沃斯滤波器 切比雪夫I型滤波器 切比雪夫II型滤波器 椭圆型滤波器 ）

clear all; close all; clc;
 
wp=[0.2*pi 0.3*pi];              % 设置通带频率
ws=[0.1*pi 0.4*pi];              % 设置阻带频率
Rp=1; Rs=20;                     % 设置波纹系数
% 巴特沃斯滤波器设计
[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,'s'); % 求巴特沃斯滤波器阶数
fprintf('巴特沃斯滤波器 N=%4d\n',N) % 显示滤波器阶数
[bb,ab]=butter(N,Wn,'s');        % 求巴特沃斯滤波器系数
W=0:0.01:2;                      % 设置模拟频率
[Hb,wb]=freqs(bb,ab,W);          % 求巴特沃斯滤波器频率响应
plot(wb/pi,20*log10(abs(Hb)),'b')% 作图
hold on
 
% 切比雪夫I型滤波器设计
[N,Wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,'s');  % 求切比雪夫I型滤波器阶数
fprintf('切比雪夫I型滤波器 N=%4d\n',N) % 显示滤波器阶数
[bc1,ac1]=cheby1(N,Rp,Wn,'s');     % 求切比雪夫I型滤波器系数
[Hc1,wc1]=freqs(bc1,ac1,W);        % 求切比雪夫I型滤波器频率响应
plot(wc1/pi,20*log10(abs(Hc1)),'k')% 作图
 
% 切比雪夫II型滤波器设计 
[N,Wn]=cheb2ord(wp,ws,Rp,Rs,'s');  % 求切比雪夫II型滤波器阶数
fprintf('切比雪夫II型滤波器 N=%4d\n',N) % 显示滤波器阶数
[bc2,ac2]=cheby2(N,Rs,Wn,'s');    % 求切比雪夫II型滤波器系数
[Hc2,wc2]=freqs(bc2,ac2,W);       % 求切比雪夫II型滤波器频率响应
plot(wc2/pi,20*log10(abs(Hc2)),'r')% 作图
 
% 椭圆型滤波器设计
[N,Wn]=ellipord(wp,ws,Rp,Rs,'s');  % 求椭圆型滤波器阶数
fprintf('椭圆型滤波器 N=%4d\n',N) % 显示滤波器阶数
[be,ae]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,'s');     % 求椭圆型滤波器系数
[He,we]=freqs(be,ae,W);            % 求椭圆型滤波器频率响应
% 作图
plot(we/pi,20*log10(abs(He)),'g')
axis([0 max(we/pi) -30 2]); %grid;
legend('巴特沃斯滤波器','切比雪夫I型滤波器','切比雪夫II型滤波器','椭圆型滤波器')
xlabel('角频率{\omega}/{\pi}'); ylabel('幅值/dB')
set(gcf,'color','w'); 
 
line([0 max(we/pi)],[-20 -20],'color','k','linestyle','--');
line([0 max(we/pi)],[-1 -1],'color','k','linestyle','--');
line([0.2 0.2],[-30 2],'color','k','linestyle','--');
line([0.3 0.3],[-30 2],'color','k','linestyle','--');
 

impinvar函数的使用方法

clear all; clc; close all;
 
K=1.74802;                           % K(r)中的参数值
w1=2*pi*9.15494;
w2=2*pi*2.27979;
w3=2*pi*1.22535;
w4=2*pi*21.9;
lemda=2*pi*4.05981;
Fs=400;                              % 采样频率
% 把K(r)中的各参数值转为2个子系统的系数
b(1)=K*w1; b(2)=0;                   % 第1子系统分子
a(1)=1/w2; a(2)=1;                   % 第2子系统分子
c(1)=1; c(2)=2*lemda; c(3)=w1*w1;    % 第1子系统分母
d(1)=1/w3/w4; d(2)=1/w3+1/w4; d(3)=1;% 第2子系统分母
 
B=conv(b,a);                         % 求出模拟系统的分子的系数
A=conv(c,d);                         % 求出模拟系统的分母的系数
[Hs,whs]=freqs(B,A);                 % 求模拟系统响应曲线
 
[num,den]=impinvar(B,A,Fs);          % 脉冲不变法求出数字系统的分子和分母系数
[Hz,wz]=freqz(num,den);              % 求数字系统响应曲线
% 作图
line(whs/2/pi,abs(Hs),'color',[.6 .6 .6],'linewidth',3); 
axis([0 30  0 1.2]); box on; hold on
plot(wz/pi*Fs/2,abs(Hz),'k');
title('K(s)模拟响应曲线和数字响应曲线比较');
xlabel('频率/Hz'); ylabel('幅值')
legend('模拟系统','数字系统');
set(gcf,'color','w');