数据结构——贪心算法

最近开始学习王争老师的《数据结构与算法之美》，通过总结再加上自己的思考的形式记录这门课程，文章主要作为学习历程的记录。

首先来看一个例子，假设我们有一个可以容纳100kg物品的背包

为了使背包中所装物体的总价值最大，如何选择在背包中装哪些豆子？这个问题的解决是将单价从高到低排列，它的本质借助的是贪心算法。

总结一下贪心算法解决问题：

第一步，当我们看到这类问题时，首先要联想到贪心算法。针对一组数据，我们定义了限制值和期望值，希望从中选出几个数据，在满足限制值的情况下，期望值最大。

第二步，我们尝试看下这个问题是否可以用贪心算法解决。每次选择当前情况下，在对限制值同等贡献量的情况下，对期望值贡献最大的数据。

第三步，我们举几个例子看下贪心算法产生的结果是否是最优的。大部分情况下，举几个例子验证一下就可以了。

实际上，用贪心算法解决问题的思路，并不总能给出最优解。举个例子，在一个有权图中，从顶点S开始，找一条到顶点T的最短路径（路径中边的权值和最小）。贪心算法的解决思路是，每次都选择一条跟当前顶点相连的权最小的边，直到找到顶点T。

按照这个思路，我们求出的最短路径是S-A-E-T，路径长度是1+4+4=9.

但这种贪心的选择方式，最终求得路径并不是最短路径，因为路径S-B-D-T才是最短路径，因为这条路径的长度是2+2+2=6.在这个问题上，贪心算法不工作的主要原因是前面的选择会影响后面的选择。即便第一步选择最优的走法，但有可能因为这一步选择，导致后面选择都很糟糕。

贪心算法实战分析

1、分糖果

我们有m个糖果和n个孩子，m＜n。要将糖果分给孩子吃，每个糖果的大小不等，这m个糖果的大小分别是S1、S2、S3、…、Sm。除此之外，每个孩子对糖果大小的需求不一样，只有糖果的大小大于等于孩子的对糖果大小的需求时，孩子才得到满足假设这n个孩子对糖果大小需求为g1、g2、g3、…、gn，如何分配糖果才能满足最多数量的孩子？

这个问题可以抽象成从n个孩子中，抽取一部分孩子分配糖果，让满足的孩子的个数最大。这个问题的限制值就是糖果个数m。

采用贪心算法，我们可以从需求小的孩子开始分配糖果。因为满足一个需求大的孩子跟满足一个需求小的孩子，对期望值的贡献是一样的。我们每次从剩下的孩子中，找出对糖果大小需求最小的，然后发给他剩下的糖果中能满足他的最小的糖果，这样得到的分配方案，也就是满足的孩子个数最多的方案。

以力扣455题为例，假设你是一位很棒的家长，想要给你的孩子们一些小饼干。但是，每个孩子最多只能给一块饼干。对每个孩子 i ，都有一个胃口值 gi ，这是能让孩子们满足胃口的饼干的最小尺寸；并且每块饼干 j ，都有一个尺寸 sj 。如果 sj >= gi ，我们可以将这个饼干 j 分配给孩子 i ，这个孩子会得到满足。你的目标是尽可能满足越多数量的孩子，并输出这个最大数值。（你可以假设胃口值为正。一个小朋友最多只能拥有一块饼干。）

class Solution(object):
    def findContentChildren(self, g, s):
        num = 0
        g = sorted(g)
        s = sorted(s)
        for ele in s:
            if num=g[num]:
                num+=1
        return num

2、钱币找零

假设我们有1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元这些面额的纸币，它们的张数分别是C1、C2、C5、C10、C20、C50、C100.现在要用这些钱来支付K元，最少要用多少张纸币？

在贡献相同期望值（纸币数目）的情况下，我们希望多贡献点金额。这样可以让纸币数更少。

3、区间覆盖

假设我们有 n 个区间，区间的起始端点和结束端点分别是 [l1, r1]，[l2, r2]，[l3, r3]，……，[ln, rn]。我们从这 n 个区间中选出一部分区间，这部分区间满足两两不相交（端点相交的情况不算相交），最多能选出多少个区间呢？

这个问题的解决思路：假设这 n 个区间中最左端点是 lmin，最右端点是 rmax。这个问题就相当于，我们选择几个不相交的区间，从左到右将 [lmin, rmax] 覆盖上。我们按照起始端点从小到大的顺序对这 n 个区间排序。我们每次选择的时候，左端点跟前面的已经覆盖的区间不重合的，右端点又尽量小的，这样可以让剩下的未覆盖区间尽可能的大，就可以放置更多的区间。

用贪心算法实现霍夫曼编码

假设有1个包含1000个字符的文件，每个字符占1个byte（1个byte=8bit），存储这1000个字符就一共需要8000bits，需要一种更节省空间的存储方式。

假设通过统计这1000个字符只包含6个不同的字符，分别为a、b、c、d、e、f。若用3个二进制位（bit）就可以表示8个不同字符，此时用3000个bits即可。

这时候霍夫曼编码出现了。霍夫曼编码可以更加节省空间。它不仅会考察文本中有多少个字符，还会考察每个字符出现的频率。根据频率的不同，选择不同长度的编码。

这时候，1000个字符只需要2100bits。

处理过程：我们把每个字符看作一个节点，并且辅带着把频率放到优先级队列中。我们从队列中取出频率最小的两个节点 A、B，然后新建一个节点 C，把频率设置为两个节点的频率之和，并把这个新节点 C 作为节点 A、B 的父节点。最后再把 C 节点放入到优先级队列中。重复这个过程，直到队列中没有数据。

我们给每一条边加上画一个权值，指向左子节点的边我们统统标记为 0，指向右子节点的边，我们统统标记为 1，那从根节点到叶节点的路径就是叶节点对应字符的霍夫曼编码。

节点的路径就是叶节点对应字符的霍夫曼编码。

参考资料：王争《数据结构与算法之美》