正弦信号、余弦信号与复指数信号（欧拉公式）

生活中不存在复数，但是《信号与系统》《数字信号处理》偏偏离不开复指数 e(jwt) ，这就涉及到复指数在推导和运算时的一些重要性质，以及其与正弦余弦信号的关系。

1. 可用复指数信号表示正弦/余弦信号

当指数信号的指数因子是复数时，称之为复指数信号。其表达式为 f(t)=Kest,s=σ+jw 。

根据欧拉公式，一个复指数信号可以分为实部和虚部两部分（ eiθ=cosθ+isinθ ）。实部包含余弦信号，虚部则是正弦信号。

{eiθ=cosθ+isinθe−iθ=cosθ−isinθ⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosθ=eiθ+e−iθ2sinθ=eiθ−e−iθ2i

且有：

|ejwt|=cos2+sin2=1

2. 复指数信号

如果我们对一个系统输入复指数信号，输出必定也是复指数信号，根据复数相等实部实部相等、虚部虚部相等的原则，那么输出的实部与输入的实部：cos（wt）相对应；输出的虚部与输入的虚部：sin(wt)相对应。

这有一个好处：输入一个复指数函数就同时解决了系统输出的振幅和相位的问题：因为输出的振幅等于响应实部的平方与虚部的平方和的开方；而输出的相位等于响应虚部与实部的比值的反正切。对于线性控制系统输入是正弦的输出也是正弦的，且周期不变。