机器学习之模糊聚类——FCM，PCM模型

在介绍模糊聚类之前，首先说一下k-means聚类模型。

k-means

这是聚类算法中很常用的一种，算法最大的特点是简单易懂：

1. 事先设置好聚类中心 $C$ 的数量 $K$，并初始化这 $K$ 个聚类中心的位置 $C^0=\{c_1,c_2,..,c_i..,c_k\}$; 输入数据集为 $X$；
2. 这样可以算出每个数据点与每个聚类中心的距离：$dist(c_i,x)$，每个点都能得到 $k$ 个距离，选取最近的那个距离，把这个点归到该类。
3. 将数据集 $X$ 中所有点分好类，计算每类所有点的中心点，作为该类新的聚类中心$C^{new}$。
4. 当满足要求的迭代条件，就得到最后的聚类结果；如果没有满足条件，从第2步继续重复。

迭代的条件可根据具体情况自行设定，其中比较运用广泛的有：
$$J(C)=\sum _{i=1}^K\sum _{x\in c_i}{dist(c_i,x)}^2$$

我们更喜欢 $J(C)$ 小的那个。

很明显k-means把每个待辨识的对象严格划分到某个类中，具有非此即彼的特性，我们称之为硬聚类。然而实际上大多数的对象没有这么严格的区别，具有亦此亦彼的性质，其需要一种更能体现该性质的聚类算法。因此研究者将“隶属度”引入聚类，将硬聚类算法推广成模糊聚类算法 。

模糊C均值算法（FCM）

1. 首先是模糊集，隶属度的概念：

   若对论域（研究范围）$D$ 中任一元素 $x$，都有一个数 $U(x)\in [0，1]$ 与之对应，则称 $U$ 为 $D$ 上的模糊集，$U(x)$ 称为 $x$ 对 $D$ 的隶属度。
   图1

   当 $x$ 在 $D$ 中变动时，$U(x)$就是一个函数，称为$U$ 的隶属函数。隶属度 $U(x)$ 越接近于1，表示 $x$ 属于$U$ 的程度越高，$U(x)$越接近于0表示$x$ 属于 $U$ 的程度越低。用取值于区间 $(0,1)$ 的隶属函数$U(x)$表征 x 属于U的程度高低。

   图1表示温度有三个隶属度函数，分别是低，正常，和高；如当温度是100的时候，正常的隶属度函数值最高，表示此时’应该‘是正常温度。

2. FCM与硬聚类的不同，就是用一个隶属度矩阵 $U=[u_{is}]$来表示每个对象属于每个类的程度大小，模糊聚类的目标函数：
   $$J(U,C)=\sum _{s=1}^N\sum _{i=1}^K{(u_{is}{)}^m\ast dist(c_i,x_s)}^2(2.1)$$
   N是数据集大小，K是聚类中心个数，m 是加权指数。也就是说模糊聚类的目 标函数 J(U,C) 就是各个数据点到每个聚类中心的加权平方和。

   模糊聚类除了计算聚类中心 C 之外，并不会直接将数据点归到某一类中，而是计算隶属度矩阵 U，取 $\{i,u\}=ma{x}_i\{U\}$

   上述问题即为：在隶属度${\sum }_{i=1}^K{u}_{is}=1$ 的约束条件下，求：
   $$min\{J(U,C)\}=min\{\sum _{s=1}^N\sum _{i=1}^K{(u_{is}{)}^m\ast dist(c_i,x_s)}^2\}=min\{\sum _{i=1}^K{(u_{is}{)}^m\ast dist(c_i,x_s)}^2\}$$
   拉格朗日方法可解：
   $$\begin{gathered} F=\sum _{i=1}^K(u_{is}{)}^m\ast dis{t}_{is}^2+\lambda (\sum _{i=1}^K{u}_{is}-1) \\ \frac{\partial F}{\partial u_{is}}=m\ast u_{is}^{m-1}\ast dis{t}_{is}^2-\lambda =0\Rightarrow u_{is}=(\frac{\lambda }{m}{)}^{\frac{1}{m-1}}(\frac{1}{dis{t}_{is}^2}{)}^{\frac{1}{m-1}}(2.2.1) \\ \frac{\partial F}{\partial \lambda }=(\sum _{i=1}^K{u}_{is}-1)=0将(2.2.1)带入本式： \\ \sum _{i=1}^K(\frac{\lambda }{m}{)}^{\frac{1}{m-1}}(\frac{1}{dis{t}_{is}^2}{)}^{\frac{1}{m-1}}-1=0\Rightarrow (\frac{\lambda }{m}{)}^{\frac{1}{m-1}}=\frac{1}{{\sum }_{i=1}^K(dis{t}_{is}^2{)}^{\frac{1}{m-1}}} \\ 将本式再代入(2.2.1)得：u_{is}=\frac{1}{{\sum }_{j=1}^K(\frac{dis{t}_{is}^2}{dis{t}_{js}^2}{)}^{-\frac{2}{m-1}}}(2.2.2) \end{gathered}$$
   得到隶属度矩阵U。聚类中心C的求解：
   $$\begin{gathered} \frac{\partial J(U,C)}{\partial c_i}=\frac{{\sum }_{s=1}^N{\sum }_{i=1}^K{(u_{is}{)}^m\ast \partial dist(c_i,x_s)}^2}{\partial c_i} \\ . \\ dist(c_i,x_s{)}^2=||c_i-x_s|{|}_A=(c_i-x_s{)}^{T}A(c_i-x_s),A为权重，则： \\ . \\ \frac{\partial J(U,C)}{\partial c_i}=\sum _{s=1}^N{u}_{is}^m\frac{\partial (c_i-x_s{)}^{T}A(c_i-x_s)}{\partial c_i}=\sum _{s=1}^N{u}_{is}^m(2A(c_i-x_s))=0,得： \\ 2A(\sum _{s=1}^N{u}_{is}^m{c}_i-\sum _{s=1}^N{u}_{is}^m{x}_s)=0\Rightarrow c_i=\frac{{\sum }_{s=1}^N{u}_{is}^m{x}_s}{{\sum }_{s=1}^N{u}_{is}^m}(2.2.3) \end{gathered}$$
   可以发现U和C是相互关联，彼此包含的。在算法初始时既没有U也没有C，这个时候就要先自赋值给其中一个变量，再根据公式(2.2.2)，(2.2.3)得到另一个变量，这样U,C不断迭代和更新，向着目标函数$J(U,C)$不断减小的方向走，最终达到一个稳定状态，这个状态下的U,C的值就是最终的隶属度矩阵和聚类中心。
   

可能性C-均值聚类（PCM）

PCM是FCM的一种改进。从上一节可知FCM会计算每个数据点对每个类的隶属度，且${\sum }_{i=1}^K{u}_{is}=1,u_{is}>0$，也就是说默认每个数据点都在不同程度上属于每个类。然而实际的情况是不一定的，比如西红柿可以是水果，也可以是蔬菜，但不可能属于肉类。不准确的隶属度会影响聚类中心的位置，求得的聚类中心又会反过来影响隶属度的取值。当数据存在噪声的时候，FCM算法准确度会大大降低。
Krishnapuram提出了可能性C-均值聚类（PCM1），其放弃了FCM的可能性约束条件，改为：
$$\begin{gathered} 0<\sum _{s=1}^N{u}_{is}<=N,foralli,and \\ ma{x}_i\{u_{is}\}>0,foralls \end{gathered}$$
构造了一个新的目标函数：
$$J(U,C)=\sum _{i=1}^K\sum _{s=1}^N{(u_{is}{)}^m\ast dist(c_i,x_s)}^2+\sum _{i=1}^K{\eta }_i\sum _{s=1}^N(1-u_{is}{)}^m(3.1)$$

$\eta$取值为：
$${\eta }_i=\frac{{\sum }_{s=1}^N{u}_{is}^m\ast dist(c_i,x_s{)}^2}{{\sum }_{s=1}^N{u}_{is}^m}$$
这里的$\eta$一般是先用FCM算法得出的$U,C$直接计算作为定值。

目标函数的极值求法与FCM时相同：
$$\begin{gathered} \frac{\partial J(U,C)}{\partial u_{is}}=m\ast u_{is}^{m-1}\ast dist(c_i,x_s{)}^2-m{\eta }_i(1-u_{is}{)}^{m-1}=0 \\ \Rightarrow u_{is}=\frac{1}{1+(\frac{dis{t}^2}{{\eta }_i}{)}^{\frac{1}{m-1}}} \end{gathered}$$

通过不段迭代 $U$和$C$ ，直到目标函数到达一个稳定状态。

目标函数3.1的第一项与FCM的目标函数2.1是相同的，是各个数据点到每个聚类中心的加权平方和。这里的第二项通俗来说，$u_{is}$是指属于某类的程度，$1-u_{is}$ 就是指不属于该类的程度。PCM的目标函数不仅要最小化各个数据点到每个聚类中心的加权平方和，还要让每个类的聚类中心尽量靠近本类多数数据点的位置范围。消除噪声数据的影响。