2020-6-4 吴恩达-改善深层NN-w2 优化算法(2.10 局部最优的问题--高维遇到鞍点，平稳段需要使用优化算法加速学习)

1.视频网站：mooc慕课https://mooc.study.163.com/university/deeplearning_ai#/c
2.详细笔记网站(中文)：http://www.ai-start.com/dl2017/
3.github课件+作业+答案：https://github.com/stormstone/deeplearning.ai

2.10 局部最优的问题 The problem of local optima

在DL研究早期，人们总是担心优化算法会困在极差的局部最优，不过随着DL理论不断发展，我们对局部最优的理解也发生了改变。

本节将介绍怎么看待局部最优以及深度学习中的优化问题。

上图是人们在想到局部最优时脑海里会出现的图。
$W_1$和$W_2$是你要优化的参数，平面的高度就是损失函数。在图中似乎各处都分布着局部最优（蓝色点）。梯度下降法或者某个算法可能困在一个局部最优中，而不会抵达全局最优（最下方箭头所指处）。

如果你要绘图，比如说在$W_1$和$W_2$两个维度，就容易出现有多个不同局部最优的图，而这些低维的图曾经影响了我们的理解，但是这些理解并不正确。

事实上，如果你要创建一个NN，通常梯度为零的点并不是上图中的局部最优点（蓝色点），实际上成本函数的零梯度点，通常是鞍点（下图中的蓝色点）。

上图中高度即成本函数 $J$ 的值。

如上图。
一个具有高维度空间的函数，如果梯度为0，那么在每个方向，它可能是凸函数，也可能是凹函数。如果你在2万维空间中，那么想要得到局部最优，所有的2万个方向都需要是凹形状（红色箭头所指），但发生的机率也许很小，大概是2^-20000。

你更有可能遇到有些方向的曲线会这样向上弯曲，另一些方向曲线向下弯，而不是所有的都向上弯曲，因此在高维度空间，你更可能碰到鞍点（类似下图），而不会碰到局部最优。

至于为什么会把一个曲面叫做鞍点，你想象一下如下图，就像是放在马背上的马鞍一样。绿色的这个点，是导数为0的点，叫做鞍点。我想那确实是你坐在马鞍上的那个点，这里导数为0。

所以我们从DL历史中学到的一课就是，我们对低维度空间的大部分直觉，比如本文第一张图，并不能应用到高维度空间中（如上图）。因为如果你有2万个参数，那么函数有2万个维度向量，你更可能遇到鞍点，而不是局部最优点。

如果局部最优不是问题，那么问题是什么？答案是平稳段（plateaus）会减缓学习。

平稳段是一块区域，其中导数长时间接近于0。

观察上图。
从左边蓝色点开始，梯度会从曲面从上向下下降，因为梯度等于或接近0，曲面很平坦，你得花上很长时间慢慢抵达平稳段的最右边蓝色点。然后你的算法能够走出平稳段（红色笔）。

总结

首先，你不太可能困在极差的局部最优中，除非是你在训练较大的NN，存在大量参数，并且成本函数被定义在较高的维度空间。

第二点，平稳段是一个问题，这样使得学习十分缓慢。这就是像Momentum，RMSprop，Adam这样的算法，能够加速学习算法的地方。在这些情况下，更成熟的优化算法，如Adam算法，能够加快速度，让你尽早往下走出平稳段。

因为你的网络要解决优化问题，说实话，要面临如此之高的维度空间，我觉得没有人有那么好的直觉，知道这些空间长什么样，而且我们对它们的理解还在不断发展，不过我希望这一点能够让你更好地理解优化算法所面临的问题。