LDA和PCA降维总结

线性判别分析（LDA）

LDA思想总结

​ 线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，LDA）是一种经典的降维方法。和主成分分析PCA不考虑样本类别输出的无监督降维技术不同，LDA是一种监督学习的降维技术，数据集的每个样本有类别输出。

LDA分类思想简单总结如下：

1. 多维空间中，数据处理分类问题较为复杂，LDA算法将多维空间中的数据投影到一条直线上，将d维数据转化成1维数据进行处理。
2. 对于训练数据，设法将多维数据投影到一条直线上，同类数据的投影点尽可能接近，异类数据点尽可能远离。
3. 对数据进行分类时，将其投影到同样的这条直线上，再根据投影点的位置来确定样本的类别。

如果用一句话概括LDA思想，即“投影后类内方差最小，类间方差最大”。

图解LDA核心思想

​ 假设有红、蓝两类数据，这些数据特征均为二维，如下图所示。我们的目标是将这些数据投影到一维，让每一类相近的数据的投影点尽可能接近，不同类别数据尽可能远，即图中红色和蓝色数据中心之间的距离尽可能大。

左图和右图是两种不同的投影方式。

​ 左图思路：让不同类别的平均点距离最远的投影方式。

​ 右图思路：让同类别的数据挨得最近的投影方式。

​ 从上图直观看出，右图红色数据和蓝色数据在各自的区域来说相对集中，根据数据分布直方图也可看出，所以右图的投影效果好于左图，左图中间直方图部分有明显交集。

​ 以上例子是基于数据是二维的，分类后的投影是一条直线。如果原始数据是多维的，则投影后的分类面是一低维的超平面。

二类LDA算法原理

​ 输入：数据集 $D=\{({\mathbf{x}}_1,{\mathbf{y}}_1),({\mathbf{x}}_2,{\mathbf{y}}_2),...,({\mathbf{x}}_m,{\mathbf{y}}_m)\}$，其中样本 ${\mathbf{x}}_i$ 是n维向量，${\mathbf{y}}_iϵ\{0,1\}$，降维后的目标维度 $d$。定义

​ $N_j(j=0,1)$ 为第 $j$ 类样本个数；

​ $X_j(j=0,1)$ 为第 $j$ 类样本的集合；

​ $u_j(j=0,1)$ 为第 $j$ 类样本的均值向量；

​ ${\sum }_j(j=0,1)$ 为第 $j$ 类样本的协方差矩阵。

​ 其中
$$u_j=\frac{1}{N_j}\sum _{\mathbf{x}ϵX_j}\mathbf{x}(j=0,1)，\sum _j=\sum _{\mathbf{x}ϵX_j}(\mathbf{x}-u_j)(\mathbf{x}-u_j{)}^T(j=0,1)$$
​ 假设投影直线是向量 $\mathbf{w}$，对任意样本 ${\mathbf{x}}_i$，它在直线 $w$上的投影为 ${\mathbf{w}}^T{x}_i$，两个类别的中心点 $u_0$, $u_1 $在直线 $w$ 的投影分别为 ${\mathbf{w}}^T{u}_0$ 、${\mathbf{w}}^T{u}_1$。

​ LDA的目标是让两类别的数据中心间的距离 $\Vert {\mathbf{w}}^T{u}_0-{\mathbf{w}}^T{u}_1{\Vert }_2^2$ 尽量大，与此同时，希望同类样本投影点的协方差${\mathbf{w}}^T{\sum }_0\mathbf{w}$、${\mathbf{w}}^T{\sum }_1\mathbf{w}$ 尽量小，最小化 ${\mathbf{w}}^T{\sum }_0\mathbf{w}-{\mathbf{w}}^T{\sum }_1\mathbf{w}$ 。
​ 定义
​ 类内散度矩阵
$$S_w=\sum _0+\sum _1=\sum _{\mathbf{x}ϵX_0}(\mathbf{x}-u_0)(\mathbf{x}-u_0{)}^T+\sum _{\mathbf{x}ϵX_1}(\mathbf{x}-u_1)(\mathbf{x}-u_1{)}^T$$
​ 类间散度矩阵 $S_b=(u_0-u_1)(u_0-u_1{)}^T$

​ 据上分析，优化目标为
$${\mathrm{argmax}}_{\mathbf{w}}J(\mathbf{w})=\frac{\Vert {\mathbf{w}}^T{u}_0-{\mathbf{w}}^T{u}_1{\Vert }_2^2}{{\mathbf{w}}^T{\sum }_0\mathbf{w}+{\mathbf{w}}^T{\sum }_1\mathbf{w}}=\frac{{\mathbf{w}}^T(u_0-u_1)(u_0-u_1{)}^T\mathbf{w}}{{\mathbf{w}}^T({\sum }_0+{\sum }_1)\mathbf{w}}=\frac{{\mathbf{w}}^T{S}_b\mathbf{w}}{{\mathbf{w}}^T{S}_w\mathbf{w}}$$
​ 根据广义瑞利商的性质，矩阵 $S_w^{-1}{S}_b$ 的最大特征值为 $J(\mathbf{w})$ 的最大值，矩阵 $S_w^{-1}{S}_b$ 的最大特征值对应的特征向量即为 $\mathbf{w}$。

LDA算法流程总结

LDA算法降维流程如下：

​ 输入：数据集 $D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_m,y_m)\}$，其中样本 $x_i$ 是n维向量，$y_iϵ\{C_1,C_2,...,C_k\}$，降维后的目标维度 $d$ 。

​ 输出：降维后的数据集 $\overline{D}$ 。

步骤：

1. 计算类内散度矩阵 $S_w$。
2. 计算类间散度矩阵 $S_b$ 。
3. 计算矩阵 $S_w^{-1}{S}_b$ 。
4. 计算矩阵 $S_w^{-1}{S}_b$ 的最大的 d 个特征值。
5. 计算 d 个特征值对应的 d 个特征向量，记投影矩阵为 W 。
6. 转化样本集的每个样本，得到新样本 $P_i=W^T{x}_i$ 。
7. 输出新样本集 $\overline{D}=\{(p_1,y_1),(p_2,y_2),...,(p_m,y_m)\}$

LDA和PCA区别

异同点	LDA	PCA
相同点	1. 两者均可以对数据进行降维； 2. 两者在降维时均使用了矩阵特征分解的思想； 3. 两者都假设数据符合高斯分布；
不同点	有监督的降维方法；	无监督的降维方法；
	降维最多降到k-1维；	降维多少没有限制；
	可以用于降维，还可以用于分类；	只用于降维；
	选择分类性能最好的投影方向；	选择样本点投影具有最大方差的方向；
	更明确，更能反映样本间差异；	目的较为模糊；

LDA优缺点

优缺点	简要说明
优点	1. 可以使用类别的先验知识； 2. 以标签、类别衡量差异性的有监督降维方式，相对于PCA的模糊性，其目的更明确，更能反映样本间的差异；
缺点	1. LDA不适合对非高斯分布样本进行降维； 2. LDA降维最多降到分类数k-1维； 3. LDA在样本分类信息依赖方差而不是均值时，降维效果不好； 4. LDA可能过度拟合数据。

主成分分析（PCA）

主成分分析（PCA）思想总结

1. PCA就是将高维的数据通过线性变换投影到低维空间上去。
2. 投影思想：找出最能够代表原始数据的投影方法。被PCA降掉的那些维度只能是那些噪声或是冗余的数据。
3. 去冗余：去除可以被其他向量代表的线性相关向量，这部分信息量是多余的。
4. 去噪声，去除较小特征值对应的特征向量，特征值的大小反映了变换后在特征向量方向上变换的幅度，幅度越大，说明这个方向上的元素差异也越大，要保留。
5. 对角化矩阵，寻找极大线性无关组，保留较大的特征值，去除较小特征值，组成一个投影矩阵，对原始样本矩阵进行投影，得到降维后的新样本矩阵。
6. 完成PCA的关键是——协方差矩阵。协方差矩阵，能同时表现不同维度间的相关性以及各个维度上的方差。协方差矩阵度量的是维度与维度之间的关系，而非样本与样本之间。
7. 之所以对角化，因为对角化之后非对角上的元素都是0，达到去噪声的目的。对角化后的协方差矩阵，对角线上较小的新方差对应的就是那些该去掉的维度。所以我们只取那些含有较大能量(特征值)的维度，其余的就舍掉，即去冗余。

图解PCA核心思想

​ PCA可解决训练数据中存在数据特征过多或特征累赘的问题。核心思想是将m维特征映射到n维（n < m），这n维形成主元，是重构出来最能代表原始数据的正交特征。

​ 假设数据集是m个n维，$({\mathbf{x}}^{(1)},{\mathbf{x}}^{(2)},\cdots ,{\mathbf{x}}^{(m)})$。如果$n=2$，需要降维到$n^{\prime }=1$，现在想找到某一维度方向代表这两个维度的数据。下图有$u_1,u_2$两个向量方向，但是哪个向量才是我们所想要的，可以更好代表原始数据集的呢？

从图可看出，$u_1$比$u_2$好，为什么呢？有以下两个主要评价指标：

1. 样本点到这个直线的距离足够近。
2. 样本点在这个直线上的投影能尽可能的分开。

如果我们需要降维的目标维数是其他任意维，则：

1. 样本点到这个超平面的距离足够近。
2. 样本点在这个超平面上的投影能尽可能的分开。

PCA算法推理

下面以基于最小投影距离为评价指标推理：

​ 假设数据集是m个n维，$(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)})$，且数据进行了中心化。经过投影变换得到新坐标为 $w_1,w_2,...,w_n$，其中 $w$ 是标准正交基，即 $\Vert w{\Vert }_2=1$，$w_i^T{w}_j=0$。

​ 经过降维后，新坐标为 $\{w_1,w_2,...,w_n\}$，其中 $n^{\prime }$ 是降维后的目标维数。样本点 $x^{(i)}$ 在新坐标系下的投影为 $z^{(i)}=\left(z_1^{(i)},z_2^{(i)},...,z_{n^{\prime }}^{(i)}\right)$，其中 $z_j^{(i)}=w_j^T{x}^{(i)}$ 是 $x^{(i)}$ 在低维坐标系里第 j 维的坐标。

​ 如果用 $z^{(i)}$ 去恢复 $x^{(i)}$ ，则得到的恢复数据为 $x^{(i)}={\sum }_{j=1}^{n^{\prime }}{x}_j^{(i)}{w}_j=W{z}^{(i)}$，其中 $W$为标准正交基组成的矩阵。

​ 考虑到整个样本集，样本点到这个超平面的距离足够近，目标变为最小化 ${\sum }_{i=1}^m\Vert {\hat{x}}^{(i)}-x^{(i)}{\Vert }_2^2$ 。对此式进行推理，可得：
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^m\Vert {\hat{x}}^{(i)}-x^{(i)}{\Vert }_2^2=\sum _{i=1}^m\Vert W{z}^{(i)}-x^{(i)}{\Vert }_2^2 \\ =\sum _{i=1}^m{\left(W{z}^{(i)}\right)}^T\left(W{z}^{(i)}\right)-2\sum _{i=1}^m{\left(W{z}^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)}+\sum _{i=1}^m{\left(x^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)} \\ =\sum _{i=1}^m{\left(z^{(i)}\right)}^T\left(z^{(i)}\right)-2\sum _{i=1}^m{\left(z^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)}+\sum _{i=1}^m{\left(x^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)} \\ =-\sum _{i=1}^m{\left(z^{(i)}\right)}^T\left(z^{(i)}\right)+\sum _{i=1}^m{\left(x^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)} \\ =-tr\left(W^T\left(\sum _{i=1}^m{x}^{(i)}{\left(x^{(i)}\right)}^T\right)W\right)+\sum _{i=1}^m{\left(x^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)} \\ =-tr\left(W^{T}X{X}^{T}W\right)+\sum _{i=1}^m{\left(x^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)} \end{gathered}$$

​ 在推导过程中，分别用到了 ${\overline{x}}^{(i)}=W{z}^{(i)}$ ，矩阵转置公式 $(AB{)}^T=B^T{A}^T$，$W^{T}W=I$，$z^{(i)}=W^T{x}^{(i)}$ 以及矩阵的迹，最后两步是将代数和转为矩阵形式。
​ 由于 $W$ 的每一个向量 $w_j$ 是标准正交基，${\sum }_{i=1}^m{x}^{(i)}{\left(x^{(i)}\right)}^T$ 是数据集的协方差矩阵，${\sum }_{i=1}^m{\left(x^{(i)}\right)}^T{x}^{(i)}$ 是一个常量。最小化 ${\sum }_{i=1}^m\Vert {\hat{x}}^{(i)}-x^{(i)}{\Vert }_2^2$ 又可等价于
$$\underset{W}{\arg \min }-tr\left(W^{T}X{X}^{T}W\right)s.t.W^{T}W=I$$
利用拉格朗日函数可得到
$$J(W)=-tr(W^{T}X{X}^{T}W)+\lambda (W^{T}W-I)$$
​ 对 $W$ 求导，可得 $-X{X}^{T}W+\lambda W=0$ ，也即 $X{X}^{T}W=\lambda W$ 。 $X{X}^T$ 是 $n^{\prime }$ 个特征向量组成的矩阵，$\lambda$ 为$X{X}^T$ 的特征值。$W$ 即为我们想要的矩阵。
​ 对于原始数据，只需要 $z^{(i)}=W^T{X}^{(i)}$ ，就可把原始数据集降维到最小投影距离的 $n^{\prime }$ 维数据集。

​ 基于最大投影方差的推导，这里就不再赘述，有兴趣的同仁可自行查阅资料。

PCA算法流程总结

输入：$n$ 维样本集 $D=\left(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(m)}\right)$ ，目标降维的维数 $n^{\prime }$ 。

输出：降维后的新样本集 $D^{\prime }=\left(z^{(1)},z^{(2)},...,z^{(m)}\right)$ 。

主要步骤如下：

1. 对所有的样本进行中心化，$x^{(i)}=x^{(i)}-\frac{1}{m}{\sum }_{j=1}^m{x}^{(j)}$ 。
2. 计算样本的协方差矩阵 $X{X}^T$ 。
3. 对协方差矩阵 $X{X}^T$ 进行特征值分解。
4. 取出最大的 $n^{\prime }$ 个特征值对应的特征向量 $\{w_1,w_2,...,w_{n^{\prime }}\}$ 。
5. 标准化特征向量，得到特征向量矩阵 $W$ 。
6. 转化样本集中的每个样本 $z^{(i)}=W^T{x}^{(i)}$ 。
7. 得到输出矩阵 $D^{\prime }=\left(z^{(1)},z^{(2)},...,z^{(n)}\right)$ 。
   注：在降维时，有时不明确目标维数，而是指定降维到的主成分比重阈值 $k(kϵ(0,1])$ 。假设 $n$ 个特征值为 ${\lambda }_1⩾{\lambda }_2⩾...⩾{\lambda }_n$ ，则 $n^{\prime }$ 可从 ${\sum }_{i=1}^{n^{\prime }}{\lambda }_i⩾k\times {\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i$ 得到。

PCA算法主要优缺点

优缺点	简要说明
优点	1. 仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响。　2.各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的相互影响的因素。3. 计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现。
缺点	1.主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强。2. 方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响。

降维的必要性及目的

降维的必要性：

1. 多重共线性和预测变量之间相互关联。多重共线性会导致解空间的不稳定，从而可能导致结果的不连贯。
2. 高维空间本身具有稀疏性。一维正态分布有68%的值落于正负标准差之间，而在十维空间上只有2%。
3. 过多的变量，对查找规律造成冗余麻烦。
4. 仅在变量层面上分析可能会忽略变量之间的潜在联系。例如几个预测变量可能落入仅反映数据某一方面特征的一个组内。

降维的目的：

1. 减少预测变量的个数。
2. 确保这些变量是相互独立的。
3. 提供一个框架来解释结果。相关特征，特别是重要特征更能在数据中明确的显示出来；如果只有两维或者三维的话，更便于可视化展示。
4. 数据在低维下更容易处理、更容易使用。
5. 去除数据噪声。
6. 降低算法运算开销。

KPCA与PCA的区别

​ 应用PCA算法前提是假设存在一个线性超平面，进而投影。那如果数据不是线性的呢？该怎么办？这时候就需要KPCA，数据集从 $n$ 维映射到线性可分的高维 $N>n$，然后再从 $N$ 维降维到一个低维度 $n^{\prime }(n^{\prime }<n<N)$ 。

​ KPCA用到了核函数思想，使用了核函数的主成分分析一般称为核主成分分析(Kernelized PCA, 简称KPCA）。

假设高维空间数据由 $n$ 维空间的数据通过映射 $\varphi$ 产生。

​ $n$ 维空间的特征分解为：
$$\sum _{i=1}^m{x}^{(i)}{\left(x^{(i)}\right)}^{T}W=\lambda W$$

​ 其映射为
$$\sum _{i=1}^m\varphi \left(x^{(i)}\right)\varphi {\left(x^{(i)}\right)}^{T}W=\lambda W$$

​ 通过在高维空间进行协方差矩阵的特征值分解，然后用和PCA一样的方法进行降维。由于KPCA需要核函数的运算，因此它的计算量要比PCA大很多。