深入理解喷泉码------喷泉码的编译码算法详解及实现

引言

       喷泉码不算一个特别新的码字了，2002年Luby就提出了喷泉码的概念，当年Luby也拿着这个东西去创业了，好像后面还是死掉了，但不管怎么说，这个码字还是十分有应用价值的，核心在于其编解码算法理解简单，实现也比较简单，就是对于其度分布的核心生成的推导十分复杂。系列文章分为两篇，第一篇主要是对于典型的喷泉码，LT码的编译码算法的详解，第二篇会对于其度分布生成的推导过程进行引导性的说明(核心的那一块的随机游走过程太难说了，有兴趣的自己看论文吧)，对于LT码的实现，我写了一份放在GitHub上，网址为：https://github.com/zk3326312/LT_code/，其中包含一份matlab的实现，方便理解整体的过程，一份是c++的，将LT码的整体功能封装为了一个类，如果要使用只需注册一个发送回调函数即可使用，另一份是纯c语言编写的，这一份代码提供了LT码的各种编译码功能函数，OK，下面我们开始对LT码的编译码算法流程进行详细的说明。

LT码编译码算法流程详解

       喷泉码是一类基于图的线性纠删码，而LT码是一种被提到3GPP标准中的实际可用的喷泉码，顾名思义，喷泉码中，编码包就如同喷泉的水滴，而接收方只要能接收到足够多的水滴就能够形成一桶水(译码得到原始数据)。反映在实际流程上，就是发送端对原始信息进行编码，得到源源不断的编码信息并且发送，只要接收端能正确接收到足够的编码信息就可以译出原始数据。在二进制删除信道上(数据包要么正确接收，要么丢包)，这个过程相比于反馈重传的机制来说更为有效，尤其适是RTT较大的环境。

      而LT码的编译码过程并不复杂，尤其是编码过程，十分简单，依据相应的公式生成度分布，按照流程生成相应的编码包即可，具体流程如下

LT码的编码算法

      LT码作为第一种实用的喷泉码，其编码过程较为简单，下面就某一编码包的产生过程介绍如下：

①   由已定的度分布p(d)（度现有的良好度分布为鲁棒孤波分布，具体流程在后续表附录）;

②   随机选取一个度值ｄ；

③   将这ｄ 个不同的数据包求异或和，生成该编码包。

具体过程如下图所示

 

      不断重复上面的步骤，就可以得到无限多个编码分组。在这些步骤中一些细节需要注意：LT 码编码之前要先确定度分布函数，度值的确定由度分布函数来计算。不同的度分布，k的概率值是不同的，但度分布概率函数只是确定了取度值为d的概率是多少，而并不能确定这d个原始编码分组是哪些，所以对于这d个原始编码分组的选择来说是任意的，本文对这d个原始编码分组的选择采用均匀分布来进行选取，即从区间[1,k]中按均匀分布随机生成d个整数。区间[1,k]中所有整数被选取的概率是相等的。把这d个整数进行异或，就得到了一个编码分组。

LT码的译码算法

      LT码的译码算法有两种，BP(后向传播)译码算法和GE(高斯消元)译码算法，本文先从图的形式讲述译码过程，再通过矩阵的形式讲述译码过程，方便大家理解。我们之前提到的，喷泉码时一类基于图的线性纠删码，什么意思呢？我们来看一个BP译码过程的Tanner图

       对于一个编码包来说，与他相连的所有原始消息进行异或得到了编码消息，我们可以通过一个度数为1的编码包(也就是只有一个原始消息参与的编码包，即编码包等于原始消息)来使与之关联的编码包的度数减1，什么意思呢？我们称“+”为异或运算，我们知道a+a = 0。对于一个编码数据包来说，编码数据为a+b+c，即此编码包度数为3，而我们此时收到了一个度数为1，消息为a的编码包，我们可以通过a+b+c+a = b+c。此时编码包度数为2了，如果我们此时又收到一个度数为1，消息为b的数据包，则可以通过b+c+b = c，使编码包度数变为1，而此时这个编码包的度数为1，消息为c，它可以参与到另一个编码包如c+d的译码过程中去，通过这样的不断迭代，我们最终就可以把a,b,c,d.....所有原始数据包解出，这也就是所谓的BP译码算法。

       那么怎么从矩阵的角度来理解译码过程呢？设原始数据分片后的消息矩阵为S，编码过程相当于乘以一个生成矩阵G，设编码后矩阵为M，则整个编码过程可以表示为M= SG，式子可以通过向量表示为： 

                                          

       生成矩阵G为一个根据度分布随机生成的K*N的矩阵，其中K为LT码码长，N为生成的编码包数量，其值理论上可以为无穷大，G矩阵中的每一列中1的个数就表明生成的编码包的度数，其中1的位置表明参与编码的源数据包的序号，因此，当G的秩等于K(行满秩)时，整个方程组是可解的，此时源消息可译码，当G的秩不足K时，接收端持续接收数据包，反应在矩阵上为G的列数持续增加，直到G的秩满足要求。解方程组的过程我们一般通过高斯消元进行，这也就是所谓的高斯消元译码。以矩阵的形式来看，BP译码也就是每次找寻一个1的个数仅为1的Mi来进行译码。

       讲到这里，基本的LT码编译码流程就说完了，拿来用已经足够了，如果你后续还想对LT码有一些深入的理解，请看我后续的博文。

附表-鲁棒孤波分布

                                                     

       其中：

                                                                        

将(i)和其对应的(i)相加起来，然后再归一化，就得到了鲁棒孤波分布的表达式：