背包问题 416. 分割等和子集

常见的背包问题。

给你一个可装载重量为W的背包和N个物品，每个物品有重量和价值两个属性。
其中第i个物品的重量为wt[i]，价值为val[i]，现在让你用这个背包装物品，最多能装的价值是多少？

举个简单的例子，输入如下：

N = 3, W = 4
wt = [2, 1, 3]
val = [4, 2, 3]
算法返回 6，选择前两件物品装进背包，总重量 3 小于W，可以获得最大价值 6。

# 0-1背包问题
import sys 
wt = [2, 1, 3]
val = [4, 2, 3]
N = 3
W = 4
# dp[i][j]表示，对于前i个物品，当前背包的容量为j时，背包可以装的最大价值
dp = [[0 for _ in range(W+1)] for _ in range(N+1)]
for i in range(1, N+1):
    for j in range(1, W+1):
        # 当背包容量装不下时，只能选择不装，所以和之前大小一样
        if j - wt[i-1]<0:
            dp[i][j] = dp[i-1][j]
        else:
            # 选择不装入背包和装入背包，看哪个更优 
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - wt[i - 1]] + val[i-1])

print(dp[-1][-1])

416. 分割等和子集

给定一个只包含正整数的非空数组。是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。
注意:
每个数组中的元素不会超过 100
数组的大小不会超过 200
示例 1:
输入: [1, 5, 11, 5]
输出: true
解释: 数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11].
示例 2:
输入: [1, 2, 3, 5]
输出: false
解释: 数组不能分割成两个元素和相等的子集.

class Solution:
    def canPartition(self, nums: List[int]) -> bool:
        n = len(nums)
        w = sum(nums)
        if w%2 == 1:
            return False
        w //= 2
        # dp[i][j]表示 在载重量为jj的情况下，如果前ii个元素能够将背包放满，
        # 则dp[i][j] = truedp[i][j]=true,如果不能够放满，则dp[i][j] = falsedp[i][j]=false。
        dp = [[False] * (w + 1) for _ in range(n + 1)]
        # 初始化base case :dp[...][0] = true，相当于当载重量为0的时候，
        # 肯定什么东西也不用放，背包肯定默认是满的，因为载重量为0嘛，所以是true；
        # dp[0][...] = false,相当于在任一载重量时，什么东西都不放，那肯定背包没有满，所以是false
        for i in range(n+1):
            dp[i][0] = True
        nums = [0] + nums
        for i in range(1, n+1):
            for j in range(1, w+1):
                if nums[i] <= j:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j] or dp[i-1][j-nums[i]]
                else:
                    dp[i][j] = dp[i-1][j]
        return dp[-1][-1]