RSA攻击大全及其实现

一、RSA攻击大全

1. 模数分解

  • Small q:模数N有小素数因子;
  • fermat:模数N的因子p与q非常接近;
  • 模不互素:给出多组公钥,但是其中的模数共用了素因子;

2. 针对指数进行攻击

  • 小公钥指数攻击:指数很小;
  • 低加密指数广播攻击:相同的消息发送给多个接收者,且加密指数较低;

3. 针对私钥进行攻击

  • 维纳攻击:指数很大(理论上\(d此攻击起作用);
  • Boneh-Durfee攻击:同样针对指数很大的情形,理论上\(d此攻击起作用;

4. Coppersmith相关攻击

Coppersmith算法用于求解模\(N\)多项式\(F(X)\)(\(X\)为单变量、二元变量甚至多元变量)所有小整数根(\(\big\|X\big\|,其中\(\delta\)为多项式\(F\)的次数,假设\(N\)具有不小于\(N^{\beta}\)的因子)

  • 明文高位泄露:明文的二进制位表示为\(m_{b} \cdots m_{t+1}m_{t} \cdots m_{1}\),其高位\(m_{b} \cdots m_{t+1}\)泄露,记\(m'=m_{b} \cdots m_{t+1}0 \cdots 0\),则\(m'\)已知,但\(\Delta m=m_{t} \cdots m_{1}\)未知;由\(c \equiv m^{e}\ \textrm{mod}\ N\),则\(\Delta m\)是模多项式\(F(X)=(m'+X)^{e}\ \textrm{mod}\ N\)的小整数根。接下来使用Coppersmith算法求解。

  • 因子低位泄露:因子的二进制位表示为\(p_{b} \cdots p_{t+1}p_{t} \cdots p_{1}\),其高位\(p_{b} \cdots p_{t+1}\)泄露,记\(p'=p_{b} \cdots p_{t+1}0 \cdots 0\),则\(p'\)已知,但\(\Delta p=p_{t} \cdots p_{1}\)未知;由\(p \cdot q=N\),则\(\Delta p\)是模多项式\(F(X)=(p'+X)\ \textrm{mod}\ N\)的小整数根。接下来使用Coppersmith算法求解。

  • 明文低位泄露:明文的二进制位表示为\(m_{b} \cdots m_{t+1}m_{t} \cdots m_{1}\),其低位\(m_{t} \cdots m_{1}\)泄露,记\(m'=m_{t} \cdots m_{1}\),则\(m'\)已知,但\(\Delta m=m_{b} \cdots m_{t+1}\)未知;由\(c \equiv m^{e}\ \textrm{mod}\ N\),则\(\Delta m\)是模多项式\(F(X)=(m'+2^{t}X)^{e}\ \textrm{mod}\ N\)的小整数根。接下来使用Coppersmith算法求解。

  • 因子低位泄露:因子的二进制位表示为\(p_{b} \cdots p_{t+1}p_{t} \cdots p_{1}\),其低位\(p_{t} \cdots p_{1}\)泄露,记\(p'=p_{t} \cdots p_{1}\),则\(p'\)已知,但\(\Delta p=p_{b} \cdots p_{t+1}\)未知;由\(p \cdot q=N\),则\(\Delta p\)是模多项式\(F(X)=(p'+2^{t}X)\ \textrm{mod}\ N\)的小整数根。接下来使用Coppersmith算法求解。

二、攻击工具

1. RsaCtfTool

GitHub链接:RsaCtfTool

在Ubuntu18.04下的安装RsaCtfTool(进入RsaCtfTool目录下):

apt install -y libgmp-dev
apt install -y libmpfr-dev
apt install -y libmpc-dev
pip3 install gmpy2 -i https://pypi.douban.com/simple
pip3 install -r requirements.txt -i https://pypi.douban.com/simple

2. yafu

我认为最强大的分解因子的工具。

3. 在线分解因子网站

factordb

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