RSA攻击大全及其实现

一、RSA攻击大全

1. 模数分解

• Small q：模数N有小素数因子；
• fermat：模数N的因子p与q非常接近；
• 模不互素：给出多组公钥，但是其中的模数共用了素因子；

2. 针对指数进行攻击

• 小公钥指数攻击：指数很小；
• 低加密指数广播攻击：相同的消息发送给多个接收者，且加密指数较低；

3. 针对私钥进行攻击

• 维纳攻击：指数很大(理论上\(d此攻击起作用)；
• Boneh-Durfee攻击：同样针对指数很大的情形，理论上\(d此攻击起作用；

4. Coppersmith相关攻击

Coppersmith算法用于求解模\(N\)多项式\(F(X)\)(\(X\)为单变量、二元变量甚至多元变量)所有小整数根(\(\big\|X\big\|，其中\(\delta\)为多项式\(F\)的次数，假设\(N\)具有不小于\(N^{\beta}\)的因子)

• 明文高位泄露：明文的二进制位表示为\(m_{b} \cdots m_{t+1}m_{t} \cdots m_{1}\)，其高位\(m_{b} \cdots m_{t+1}\)泄露，记\(m'=m_{b} \cdots m_{t+1}0 \cdots 0\)，则\(m'\)已知，但\(\Delta m=m_{t} \cdots m_{1}\)未知；由\(c \equiv m^{e}\ \textrm{mod}\ N\)，则\(\Delta m\)是模多项式\(F(X)=(m'+X)^{e}\ \textrm{mod}\ N\)的小整数根。接下来使用Coppersmith算法求解。

• 因子低位泄露：因子的二进制位表示为\(p_{b} \cdots p_{t+1}p_{t} \cdots p_{1}\)，其高位\(p_{b} \cdots p_{t+1}\)泄露，记\(p'=p_{b} \cdots p_{t+1}0 \cdots 0\)，则\(p'\)已知，但\(\Delta p=p_{t} \cdots p_{1}\)未知；由\(p \cdot q=N\)，则\(\Delta p\)是模多项式\(F(X)=(p'+X)\ \textrm{mod}\ N\)的小整数根。接下来使用Coppersmith算法求解。

• 明文低位泄露：明文的二进制位表示为\(m_{b} \cdots m_{t+1}m_{t} \cdots m_{1}\)，其低位\(m_{t} \cdots m_{1}\)泄露，记\(m'=m_{t} \cdots m_{1}\)，则\(m'\)已知，但\(\Delta m=m_{b} \cdots m_{t+1}\)未知；由\(c \equiv m^{e}\ \textrm{mod}\ N\)，则\(\Delta m\)是模多项式\(F(X)=(m'+2^{t}X)^{e}\ \textrm{mod}\ N\)的小整数根。接下来使用Coppersmith算法求解。

• 因子低位泄露：因子的二进制位表示为\(p_{b} \cdots p_{t+1}p_{t} \cdots p_{1}\)，其低位\(p_{t} \cdots p_{1}\)泄露，记\(p'=p_{t} \cdots p_{1}\)，则\(p'\)已知，但\(\Delta p=p_{b} \cdots p_{t+1}\)未知；由\(p \cdot q=N\)，则\(\Delta p\)是模多项式\(F(X)=(p'+2^{t}X)\ \textrm{mod}\ N\)的小整数根。接下来使用Coppersmith算法求解。

二、攻击工具

1. RsaCtfTool

GitHub链接：RsaCtfTool

在Ubuntu18.04下的安装RsaCtfTool(进入RsaCtfTool目录下)：

apt install -y libgmp-dev
apt install -y libmpfr-dev
apt install -y libmpc-dev
pip3 install gmpy2 -i https://pypi.douban.com/simple
pip3 install -r requirements.txt -i https://pypi.douban.com/simple

2. yafu

我认为最强大的分解因子的工具。

3. 在线分解因子网站

factordb