leetcde-剪绳子

给你一根长度为 n 的绳子，请把绳子剪成整数长度的 m 段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为 k[0],k[1]…k[m-1] 。请问 k[0]k[1]…*k[m-1] 可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

示例 1：
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1

示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36

提示：
2 <= n <= 58

动态规划（自底向上）
从已知值 F(2)F(2)F(2) 逐步迭代到目标值 F(n)F(n)F(n)，它是一种自底向上的方法。
算法
建立一维动态数组 dp：
边界条件：dp[1] = dp[2] = 1，表示长度为 2 的绳子最大乘积为 1；
状态转移方程：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, j * dp[i - j]))，可以这样理解：

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        dp = [0 for _ in range(n + 1)]  # dp[0] dp[1]其实没用
        dp[2] = 1  # 初始化
        res = -1
        for i in range(3, n + 1):
            for j in range(i):
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, j * dp[i - j]))
        return dp[n]

复杂度分析
时间复杂度：O(N2)。
空间复杂度：O(N)。

动态规划优化解法
我们发现任何大于 333 的数都可以拆分为数字 1，2，31，2，31，2，3 的和，且它们对 333 的余数总是 0，1，20，1，20，1，2，因此我们可以仅用 dp[0]，dp[1]，dp[2] 表示所有大于 333 的值，这样空间复杂度可降到 O(1)O(1)O(1)。

这样重复使用 dp 数组，只须一趟遍历即可完成，可使时间复杂度降到 O(N)O(N)O(N)。
代码

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        vector<int>dp={0,1,1};
        for(int i=3;i<n+1;++i){
            dp[i%3]=max(1*max(dp[(i-1)%3],i-1),
                        2*max(dp[(i-2)%3],i-2),
                        3*max(dp[(i-3)%3],i-3));
        }
        return dp[n%3];
    }
};

找规律
在面试时尽量按照常规思路去解，但是大神 @jyd 提出了一种非常巧妙的解法，可将时间复杂度降到 O(1)O(1)O(1)，值得我们去学习，他在 题解 中进行了详细的说明，这里只进行简单的总结。

贪心法则：尽可能分解出多的 333，333 的个数为 a，得到余数 b 可能为 0，1，20，1，20，1，2：
b = 0，返回 3a3^a3a；
b = 1，我们将末尾的 3+13+13+1 分解成 2×22\times 22×2，因此返回 3a−1×43^{a-1}\times 43a−1×4；
b = 2，返回 3a×23^a\times 23a×2；

代码

class Solution {
public:
    int cuttingRope(int n) {
        if (n < 4)return n - 1;
        int a = n / 3, b = n % 3;
        if (b == 0)return a = pow(3, a);
        if (b == 1)return a = pow(3, a-1) * 4;
        if (b == 2)return a = pow(3, a) * 2;
        return a;
    }
};