行列式有关性质

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1. 行列式的性质

• 行列式与它转置行列式相等
• 对换行列式的两行(列),行列式变号

• 推论:如果有两行(列)完全相同,则此行列式等于零
• 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以数$k$,等于用数$k$乘此行列式
  • 推论:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子以提到行列式记号的外面
• 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式等于零
• 若行列式中的某一行(列都是两数之和),例如第$i$行的元素都是两数之和:
  $$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a12& ...& a_{1n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{i1}+a_{i1}^{\prime }& a_{i2}+a_{i2}^{\prime }& ...& a_{in}+a_{in}^{\prime }\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|$$

则D等于下列两个行列式之和
$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{i1}& a_{i2}& ...& a_{in}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{i1}^{\prime }& a_{i2}^{\prime }& ...& a_{in}^{\prime }\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|$$

• 把行列式的某一行(列)的各元素乘同一行加到另一行(列)对应元素上去,行列式不变

2. 引理

一个$n$阶行列式,如果其中第$i$行所有元素除$(i,j)$外都为零,那么这个行列式等于$a_{ij}$与它的代数余子式的乘积即
$$D=a_{ij}{A}_{ij}$$

3. 定理:行列式展开法则

$$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in},(i=1,2,...,n)$$
$$D=a_{ij}{A}_{ij}+a_{2j}{A}_{2j}+...+a_{nj}{A}_{nj},(j=1,2,...,n)$$

4. 推论

行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零
即
$$a_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+...+a_{in}{A}_{jn}=0,i̸=j$$
$$a_{1i}{A}_{1j}+a_{2i}{A}_{j2}+...+a_{ni}{A}_{nj}=0,i̸=j$$