浮点数表示（IEEE-754标准浮点格式）

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归纳

浮点数的一般表示形式为：

一个十进制数Ｎ可以写成：N = 10e×M

一个二进制数Ｎ可以写成：N = 2e×M

其中， M称为浮点数的尾数，是一个纯小数；e是比例因子的指数，称为浮点数的指数，是一个整数。在计算机中表示一个浮点数时，一是要给出尾数M，用小数形式表示；二是要给出指数e，用整数形式表示，常称为阶码。尾数部分给出有效数字的位数，因而决定了浮点数的表示精度；阶码部分指明了小数点在数据中的位置，因而决定了浮点数的表示范围。浮点数也是有符号数.

 |  S  |    E    |    	M		|

S为尾数的符号位；占1位；
E为阶码，紧跟在符号位之后，占m位；
M为尾数，放在低位部分，占n位。

IEEE-754标准浮点格式

IEEE标准从逻辑上采用一个三元组{S, E, M}来表示一个数N，它规定基数为2，符号位S用0和1分别表示正和负，尾数M用原码表示，阶码E用移码表示。根据浮点数的规格化方法，尾数域的最高有效位总是1，由此，该标准约定这一位不予存储，而是认为隐藏在小数点的左边，因此，尾数域所表示的值是1.M（实际存储的是M），这样可使尾数的表示范围比实际存储多一位。为了表示指数的正负，阶码E通常采用移码方式来表示，将数据的指数e 加上一个固定的偏移量后作为该数的阶码，这样做既可避免出现正负指数，又可保持数据的原有大小顺序，便于进行比较操作。

目前，大多数高级语言都按照IEEE-754标准来规定浮点数的存储格式。IEEE-754标准规定，单精度浮点数用4字节（即32位）存储，双精度浮点数用8字节（即64位）存储，如图2-3所示：

单精度格式（32位）：符号位（S）1位；阶码（Ｅ）8位，阶码的偏移量为127（7FH）；尾数（M）23位，用小数表示，小数点放在尾数域的最前面；

双精度格式（64位）：符号位（S）1位；阶码（Ｅ）11位，阶码的偏移量为1023（3FFH）；尾数（M）52位，用小数表示，小数点放在尾数域的最前面。

在IEEE-754标准中，一个规格化的32位浮点数X的真值可表示为：

X = (-1)s×(1.M)×2 E-127       e = E-127  
 E为阶码即指数的真值

在IEEE-754标准中，一个规格化的64位浮点数X的真值可表示为：

X = (-1)s×(1.M)×2 E-1023       e = E-1023        
  E为阶码即指数的真值

例如：

-1280采用IEEE-754标准单精度浮点数格式表示为：
C4808000H

由于双精度格式的原理与单精度格式相同，仅仅是表示的位数有所增加，所以，下面主要介绍单精度格式（32位）浮点数的表示方法。

当一个浮点数的尾数为 0，不论其阶码为何值，或者当阶码的值遇到比它所能表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成零值，称为机器零。

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特别的

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当阶码E为全0且尾数M也为全0时，表示的真值X为零，结合符号位S为0或1，有正零和负零之分。当阶码E为全1且尾数M也为全0时，表示的真值X为无穷大（∞），结合符号位S为0或1，有+∞和-∞之分。这样，在32位浮点数表示中，要除去E用全0和全1（255）表示零和无穷大的特殊情况，因此，阶码E的取值范围变为1～254，指数的偏移量不选128（10000000B），而选127（01111111B）。对于32位规格化浮点数，真正的指数值e为-126～+127，因此，数的绝对值的范围是2-126～2127≈10-38～1038。