机器学习笔记（一）贝叶斯分类器（上）

机器学习笔记（一）贝叶斯分类器（上）

本文将介绍朴素贝叶斯分类器的基本原理，并将其应用到图像分类任务中。(数据集为字母大小写灰度图，大小为16×16，每种字母1016张，总共26×2×1016张图片，数据集下载链接：github仓库)

原理概述

贝叶斯公式描述了在已知P(X)发生的条件下，导致其发生的原因是$C_i$的概率，称为条件$X$下$C_i$的后验概率，$P(C_i|X)$ 即表示$X$属于$C_i$类的概率。假设有$m$个类，则分别求出在条件$X$下，$C_i(i=1,2,......,m)$ 的后验概率，最大后验概率对应的类别即为X所属的类别。
$$P(C_i│X)=\frac{P(C_i)P(X|C_i)}{(P(X)}$$
在分类任务中，每个数据样本用一个$n$维特征向量表示：$X=x_1,x_2,\dots \dots ,x_n$。假设有$m$个类：$C_1,C_2,......,C_m$，分离器依次假设$X$属于$C_i(i=1,2,......,m)$，并求得各后验概率并找出最大后验概率对应的类。对于$P(X),P(C_i)$一类直接分析数据得到的概率称为先验概率。如果$C_i$类的先验概率未知，一般设$C_i$的先验概率是相等的，即如果有$m$个类，$P(C_i)=\frac{1}{m}$，或者如果样本有三类$C_1,C_2,C_3$三类的训练样本数为$1：2：3$，可以设置$P(C_i)，i=1，2，3$ 的值为$\frac{1}{6}，\frac{1}{3}，\frac{1}{2}$。$P(X)$为归一化因子，对于所有类来说是一致的。$P(X|C_i)$称为给的$C_i$时$X$的似然度。如果训练样本各类数目均相等，则可将问题简化为求最大似然度的问题。

实现过程及完整代码

这里是数据预处理过程，包括将数据分割为训练数据和测试数据，删除非图片文件（.db文件），为图片打标签等

import os
import shutil
import zipfile
if not os.path.exists('work/recognise'):
    os.makedirs('work/recognise')
#os.chdir('../work')
extracting = zipfile.ZipFile('/home/aistudio/data/data32588/letters.zip')
extracting.extractall('work/')


folders = os.listdir('work/letters')
#文件夹重命名为字母
for folder in folders:
    i = int(folder[-3:])
    if i<=36:
        os.rename('work/letters/%s'%folder,'work/letters/%s'%chr(54+i))
    else:
        os.rename('work/letters/%s'%folder,'work/letters/%s'%chr(60+i))
print(os.listdir('work/letters'))

#图片重命名为数字
for path in os.listdir('work/letters'):
    path = 'work/letters/%s'%path
    count = 0
    for f in os.listdir(path):
        file_path = '%s%s'%(path,'/')
        if f[-3:]=='png':
            os.rename('%s%s'%(file_path,f),'%s%s%s'%(file_path,str(count),'.png'))
            count+=1
        else:
            os.remove('%s%s'%(file_path,f))
            print(f)
#重命名为数字


for folder in os.listdir('work/letters'):
    os.makedirs('work/recognise/%s' % folder)
    for i in range(916,1016):
        shutil.move('work/letters/%s/%s.png' % (folder,str(i)),'work/recognise/%s/%s.png' % (folder,str(i-916)))

以下为图像分类的实现过程

from PIL import Image,ImageOps
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pandas as pd
import os
from sklearn.decomposition import PCA

大津法求阈值
大津法利用求最大类间方差，按照图像的灰度特性，将图片划分为前景和背景。最大类间方差对应的分割点即为阈值。
假设阈值为$T(T=0,1,2,......，255)$,图像大小为$M\times N$(这里为16×16),$N_0$为小于$T$的像素个数，${\mu }_0$为小于T的像素值的均值，$N_1$为大于$T$的像素个数，${\mu }_1$为大于$T$的像素值的均值。
${\omega }_0=\frac{N_0}{M\times N}$ , ${\omega }_1=\frac{N_1}{M\times N}$ ，其中$N_0+N_1=M\times N$
$\mu ={\mu }_0\times {\omega }_0+{\mu }_1\times {\omega }_1$ ,
$g={\omega }_0\times ({\mu }_0-\mu {)}^2+{\omega }_1\times ({\mu }_1-\mu {)}^2$
遍历0-255，求出$g$最大时对应的$T$即为最佳阈值。

def myOtsu(img_array):
    height = 16
    width = 16
    size = height*width
    T = 0
    g_0 = 0
    for i in range(size+1):
        back = np.where(img_array>=i)[0]
        front = np.where(img_array<i)[0]
        front_cnt = len(front)
        back_cnt = size-front_cnt
        w_f = front_cnt/size
        w_b = back_cnt/size
        if len(img_array[front]) == 0:
            u_f = 0
        else:
            u_f = img_array[front].mean()
        if len(img_array[back]) == 0:
            u_b = 0
        else:
            u_b = img_array[back].mean()
        g = w_f*w_b*np.square(u_f-u_b)
        if g>g_0:
            g_0 = g
            T = i
    front = np.where(img_array<T)[0]
    back = np.where(img_array>=T)[0]
    img_array[front] = 255
    img_array[back] = 0
    return img_array,T

train_data()和test_data()负责加载数据，将图片展开为256维的向量,使用大津法二值化图像，前景为0，后景为1。最后返回一个字典，键为字母（即标签），值为一个二维数组，行向量为一张图片的特征向量。

def train_data():
    data = {}
    for folder in os.listdir('work/letters'):
        data[folder]=[]
        file_list = os.listdir('work/letters/%s'%folder)
        for i in range(900):
            im = Image.open("work/letters/%s/%s.png" % (folder,str(i))).convert('L')
            im = im.resize((16, 16), Image.ANTIALIAS)               
            im = np.array(im).reshape(256).astype(np.float32)
            im = myOtsu(im)[0]/255
            data[folder].append(im)
    return data

def test_data():
    data={}
    for label in os.listdir('work/recognise'):
        imgs = []
        for i in range(100):
            im = Image.open("work/recognise/%s/%s.png" % (label,str(i))).convert('L')
            im = im.resize((16, 16), Image.ANTIALIAS)               
            im = np.array(im).reshape(256).astype(np.float32)
            im = myOtsu(im)[0]/255
            imgs.append(im)
        data[label]=imgs
    return data

计算分量的概率
这里需要利用拉普拉斯平滑，以防止某个分量概率为0导致其联合分布概率为0的情况。具体做法使假设该训练图片中该分量为0、1的图片至少有一张，最后求概率时除以（训练图片数+2）即可。

def cal_prob(data):
    prob = {}
    for label in data:
        cnt = np.ones(16*16)
        imgs = data[label]
        for img in imgs:
            ones = np.where(img==1)[0]
            cnt[ones]+=1
        prob[label] = cnt/(len(imgs)+2)
    return prob

分类过程中，假设在$C_i$条件下，$C_i$类图片第k个分量为1的概率为$p_{k1}$，$p_{k1}+p_{k0}=1$。对于测试图片的特征向量$X=\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$，$P(x_k=a)=p_{ka}$。其中，$a=1,0,k=0,1,\dots 255$。通过遍历每一种图片的概率模型，可求得测试图片的特征向量$X=\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$在给定$C_i$类下的似然度：
$P(X|C_i)={\prod }_{k=0}^{255}P(x_k=a)$
遍历各个类的概率模型，求出该测试图片的最大似然度对应的类即为分类结果。

class bayes_classifier:
    def __init__(self,data):
        self.__probs = cal_prob(data)
    def classfy(self,img):
        results = {}
        for label in self.__probs:
            res = 1
            for i in range(len(img)):
                if img[i] == 1:
                    res=res*self.__probs[label][i]
                else:
                    res=res*(1-self.__probs[label][i])
            results[label] = res
        res_label = max(results, key=results.get)
        return res_label

classifier = bayes_classifier(train_data())
test = test_data()
correct_cnt ={}
for label in test:
    correct=0
    for i in test[label]:
        res_label = classifier.classfy(i)
        if res_label == label:
            correct+=1
    correct_cnt[label]=correct
    print('%s:%s' % (label,str(correct/100)))
print('correct_prob:%s'% str(sum(correct_cnt.values())/(26*2*100)))

测试数据中每种字母100张图片，共26×2×100张测试图片。以下为输出结果，分别为每个字母的识别准确率和整体的识别准确率：(最高为 K : 91%，最低为 I : 29%，整体为 66.03846153846153%)

H:0.65
z:0.58
h:0.7
G:0.65
c:0.56
Q:0.52
n:0.77
D:0.69
P:0.82
V:0.52
f:0.72
Y:0.73
w:0.71
y:0.68
U:0.57
q:0.78
u:0.66
m:0.78
o:0.52
J:0.47
F:0.68
Z:0.56
M:0.71
A:0.75
R:0.74
S:0.52
K:0.91
C:0.68
a:0.7
r:0.68
L:0.74
l:0.72
v:0.47
T:0.72
g:0.69
j:0.78
I:0.29
k:0.79
N:0.84
d:0.8
E:0.77
X:0.59
B:0.77
e:0.7
x:0.58
p:0.66
t:0.68
W:0.41
b:0.73
i:0.71
O:0.43
s:0.46
correct_prob:0.6603846153846153