【高数】向量代数与空间解析几何

知识点

向量代数

与向量有关的基本概念

• 向量。[《全书》P127]
• 向量的模。[《全书》P127]
• 向量的坐标及坐标的表示。[《全书》P127]
• 零向量。[《全书》P127]
• 单位向量。[《全书》P127]
• 两向量的夹角。[《全书》P127]
• 向量a的方向余弦。[《全书》P127]

向量的运算及性质

• 加减运算。[《全书》P128]
• 数乘运算。[《全书》P128]
• 数量积。[《全书》P128]
• 向量积。[《全书》P128]
• 混合积。[《全书》P129]

平面与直线

• 平面方程。[《全书》P132]
  • 一般式方程。
  • 点法式方程。
  • 截距式方程。
• 直线方程。[《全书》P132]
  • 一般式方程。
  • 对称式方程。
  • 参数式方程。
• 平面与直线间的位置关系[《全书》P132]
  • 平面与平面间的位置关系。
  • 直线与直线间的位置关系。
  • 平面与直线的位置关系。
  • 点到平面距离公式。
  • 点到直线距离公式。
  • 两不相交直线间的距离公式。

空间曲面与曲线

旋转面及其方程

• 旋转面的定义。[《全书》P140]
• 旋转面的方程。[《全书》P140]

柱面及其方程

• 柱面的定义。[《全书》P140]
• 柱面方程的建立。[《全书》P140]
• 常见的柱面。[《全书》P141]

常见的二次曲面及图形

空间曲线及其方程

空间曲线的投影

全书例题分析

向量的运算

• 垂直于某个平面的向量有两个（互相反向）。
• 混合积(abc)中只要有两向量平行，则其混合积为零。

向量运算的应用及向量的位置关系

• 角平分线向量为$$c=|k|(\frac{a^0}{|a|}+\frac{b^0}{|b|})$$，其中k为待定系数，但是|k|不为c的模。

建立平面方程

两直线若相交，则它们共面，根据三向量共面的充要条件知，两直线的方向向量与两直线上各任意取一点（且非交点）所连的向量的混合积为零。

建立直线方程

• 可以将问题转化为先求目标直线所在的平面方程，再求直线和平面的两个交点，即得直线方程。

与平面和直线的位置关系有关的问题

• 两直线若相交，则它们共面，根据三向量共面的充要条件知，两直线的方向向量与两直线上各任取一点（非交点）所连的向量的混合积为零。

建立柱面方程

• 对于F(x, y, z) = 0以及z = f(x, y)确定的准线，母线平行于z轴的柱面方程，只需要代入消去z即可。

建立旋转面方程

• 按照定义方法求旋转面方程。
• 利用曲线L上一点到旋转轴的距离不变。
• 过直线L作垂直于平面II的平面II₁，该平面与已知平面II的交线即为所要求的投影直线l₀的方程。

建立空间曲线的投影曲线方程

• 曲线在xOy面上的投影，则为消去曲线方程上的z变量的曲面方程以及z = 0联立的直线。