视觉SLAM学习第二讲——三维空间刚体运动（工程矩阵、C++11知识补充）
三维空间的刚体运动主要学习点如下：
2.1 点与坐标系
2.2 旋转矩阵
2.3 旋转向量与欧拉角
2.4 四元数
2.5 相似、仿射和射影变换
2.6 实践：Eigen矩阵运算
2.7 实践：Eigen几何模块
对于三维空间刚体整体知识的学习，可参考https://blog.csdn.net/weixin_38593194/article/details/85234607
详细讲述了关于刚体运动学的知识，在此就不重复引了。
本文主要补充三维空间刚体运动中的一些基础知识点，包括线性代数（工程矩阵）和c++11新特性等相关知识。
一、 工程矩阵
Eigen是常用的c++矩阵运算库，支持线性代数等矩阵的运算。
1、线性方程Ax=b（A为方阵），分析讨论x解的情况。
A——系数矩阵；A|b——增广矩阵；R(.)——矩阵的秩
- 当b=0时，方程组为齐次线性方程组：
①当R(A)=n时，即|A|≠0,x有唯一零解；
②当R(A)- 当b≠0时，方程组为非齐次线性方程组：
①R(A)≠R(A|b),x无解；
②R(A)=R(A|b)=n时，x有唯一解；
③R(A)=R(A|b) - 当b≠0时，方程组为非齐次线性方程组：
2、高斯消元法的原理
- 高斯消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个行梯阵式。
- 若用初等行变换将增广矩阵（A|B)化为(C|D)，则AX = B与CX = D是同解方程组。所以可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。
3、四种常用分解方法
-
三角分解
- 目的：将Anxn分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积
- 分解原理：常用的分解为Crout分解 A=LDU
-
OR分解
- 目的：将 A nxn 分解为正交矩阵与上三角矩阵之积
- 约定：QR分解针对实矩阵/实向量/实数
- QR分解有三种方式：Schmidt正交化，Givens变换，Householder变换
-①Schmidt正交化方法
-②G-变换方法
-③H-变换方法
-
满秩分解
补充：
1．Hermite 标准形：若 B∈ Cr(r>=1) 满足
⑴ B 的后m-r行元素均为零；
⑵ B 中有 r 列，设为c1,…,cr列，构成Im的前 r 个列．
称 B 为拟 Hermite 标准形．
2．置换矩阵：划分单位矩阵In=(e1,e2,…,en)，称P1=(ej1,ej2,…,ej3)为置换矩阵，其中j1,j2,…,jn是1,2,…,n的一个排列. -
奇异值分解
下给一使用奇异值分解的例题，帮助大家理解：
二、 C++11新特性
c++11是对目前c++语言的扩展和修正，增加了许多新特性，包括：lambda表达式，类型推导关键字auto、decltype,和模板的大量改进。
新的关键字
auto
1、自动类型推导
auto a; // 错误，auto是通过初始化表达式进⾏类型推导，如果没有初始化表达式，就⽆法确定a
的类型
auto i = 1;
auto d = 1.0;
auto str = "Hello World";
auto ch = 'A';
auto func = less();
vector iv;
auto ite = iv.begin();
auto p = new foo() // 对⾃定义类型进⾏类型推导
2、模板
如果不使用auto就必须声明Product这一模板参数：
template
void processProduct(const Creator& creator) {
Product* val = creator.makeObject();
// do somthing with val
}
如果使用auto，则可以这样写：
template
void processProduct(const Creator& creator) {
auto val = creator.makeObject();
// do somthing with val
}
decltype
从一个表达式或变量中得到类型。
int x = 3;
decltype(x) y = x;
把上文中加工产品的例子的产品作为返回值：
template
auto processProduct(const Creator& creator) ->
decltype(creator.makeObject()) {
auto val = creator.makeObject();
// do somthing with val
}
nullptr
为了解决原来C++中NULL的二义性问题而引进的一种新的类型。
void F(int a){
cout<序列for循环
map m{{"a", 1}, {"b", 2}, {"c", 3}};
for (auto p : m){
cout< Lambda表达式
可以用于创建并定义匿名的函数对象，以简化编程
工作。Lambda的语法如下：
[函数对象参数]（操作符重载函数参数）->返回值类型{函数体}
vector iv{5, 4, 3, 2, 1};
int a = 2, b = 1;
for_each(iv.begin(), iv.end(), [b](int &x){cout<<(x + b)<int{return x * (a + b);});
变长参数的模板
1、tuple 可以传入多个不同类型
auto t1 = make_tuple(1, 2.0, "C++ 11");
auto t2 = make_tuple(1, 2.0, "C++ 11", {1, 0, 2});
2、实现print
template
void Print(Head head, typename... tail) {
cout<< head < 更加优雅的初始化方法
在C++11中，可以使用以下语法来替换：
int arr[3]{1, 2, 3};
vector iv{1, 2, 3};
map{{1, "a"}, {2, "b"}};
string str{"Hello World"};