线性同余方程-扩展欧几里得算法
完整代码见https://github.com/YIWANFENG/Algorithm-github
线性同余方程定义
对于线性同余方程
这个式子的意思即 （ax)%n = b
如果 x0 是方程的一个解，那么所有的解可以表示为：
其中d = gcd(a,n)
性质
此方程有解当且仅当 b 能够被 a 与 n 的最大公约数整除（记作 gcd(a,n) | b）
用算法表示即 b%gcd(a,n) == 0
解法推理（扩展欧几里得算法求特解）
由上面可知我们只要求出一个特解即可得通解。
由裴蜀定理（对任何整数a，b，m，关于未知数x,y的裴蜀等式ax +by = m, 当且仅当m为(d=gcd(a,b)）的倍数时有整数解）知
ax + by = gcd(a,b)
上面这个式子是扩展欧几里得算法的核心，
推理扩展欧几里得算法
情况1：当b = 0时，明显可知
ax+by = ax = gcd(0,a%0) = a
所欲x = 1, y = 0 即可
情况2 : 当a !=0 &&b != 0时
ax+by = gcd(a,b)
即有
gcd(a,b) = a * x1 + b * y1
gcd(b, a%b) = b * x2 + (a%b) * y2
由 a%b = a-int(a/b)*b
得
a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a-int(a/b)*b) *y2
即
a * x1 + b * y1 = b * x2 + a * y2 –int(a/b)*b * y2
即
a * x1 + b * y1 = a * y2 + b * ( x2 –int(a/b) *y2 )
所以有
x1 = y2
y1 = ( x2 – int(a/b) *y2 )
由这两个等式，我们通过可得递归式的扩展欧几里得算法
int gcdEx(int a,int b,int &x,int&y) {
//扩展欧几里得算法
//求得aX + nY = gcd(a,n) 的一个(X,Y)
if(b!=0){
intr = gcdEx(b,a%b,x,y);
intt = x;
x= y;
y= t - a/b*y;
returnr;
}else {
x= 1;
y= 0;
returna;
}
}使用扩展欧几里得算法求特解
ax%n = b（1-1）
即存在x,y满足ax+ny = b（1-2）
d = gcd(a,n)
b/d ∈ Z
存在（X,Y）满足 aX + nY =d （1-3）
gcdEx()可得一个（X,Y）
（1-3）/ d * b可得
（1-4）
对比（1-2）(1-4)可得
对于
这样我们便得到一个(1-1)的特解x
void linear_congruences(int a,int b,int n){
//求得 ax = b (mod n)
if(b% gcd(a,n) == 0){
intx,y,d,c,re;
if(n>a) {
c= a;
a= n;
n= c;
d= gcdEx(a,n,x,y);
re= y*b/d;
cout<<"s";
cout<<"通解"<例题-旅行青蛙
两只住在地球同一纬线上的青蛙想要见面，他们都选择向西跳，直至碰面(两只青蛙在同一点)，两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。我们需要判断青蛙是否可以会面，如果可以则需要跳多少次。
Input：
输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output：
输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
如果青蛙能够相遇，则x + m*s – (y + n*s) = L * z
s为步数，z为一个整数
变形得(m-n)s = (x-y) (mod L)
对linear_congruences（（m-n）,(x-y),L）{ …}稍加修改即可
void POJ() {
intX,Y,M,N,L,a,n,b;
cin>>X>>Y>>M>>N>>L;
a= (M-N);
n= L ;
b= -(X-Y);
if(b%gcd(a,n)==0){
intx,y,d,c,re;
if(n>a) {
c= a;
a= n;
n= c;
d= gcdEx(a,n,x,y);
re= y*b/d;
while(re>0)re-=abs(a/d);
re+=abs(a/d);
cout<0)re-=abs(n/d);
re+=abs(a/d);
cout< Ref
线性同余方程
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E5%90%8C%E4%BD%99%E6%96%B9%E7%A8%8B
扩展欧几里得算法
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%89%A9%E5%B1%95%E6%AC%A7%E5%87%A0%E9%87%8C%E5%BE%97%E7%AE%97%E6%B3%95
裴蜀定理
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%9D%E7%A5%96%E7%AD%89%E5%BC%8F
现代魔法学院
http://www.nowamagic.net/academy/detail/40110128