整数拆分问题解析

今天给大家带来一篇整数拆分问题的讲解，希望大家能喜欢。

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整数拆分问题是一类非常经典的动态规划问题，在2020NOI ONLINE中PJ T2出现，当时可谓难倒一片dalao，今天就以这道题来解读整数拆分问题。

题面：

题目描述

小 H 是一个热爱运动的孩子，某天他想给自己制定一个跑步计划。小 H 计划跑 $n$ 米，其中第 $i(i\ge 1)$ 分钟要跑 $x_i$​ 米（$x_i$ 是正整数），但没有确定好总时长。
由于随着跑步时间增加，小 H 会越来越累，所以小 H 的计划必须满足对于任意$i(i>1)$ 都满足 $x_i\le x_i-1$。
现在小 H 想知道一共有多少个不同的满足条件的计划，请你帮助他。两个计划不同当且仅当跑步的总时长不同，或者存在一个 iii，使得两个计划中 $x_i$不相同。
由于最后的答案可能很大，你只需要求出答案对 $p$ 取模的结果。

输入格式

输入只有一行两个整数，代表总米数 $n$ 和模数 $p$。

输出格式

输出一行一个整数，代表答案对 $p$ 取模的结果。

输入样例

4 44

输出样例

5

题面解读：

这道题就是整数拆分问题的一个很典型的应用（话说这就是裸的整数拆分 ），附上真正整数拆分问题的题面：

将一个正整数 $n$ 拆分成一系列正整数之和，即：$n=n_1+n_2+n_3+\dots \dots +n_k$，其中 $n_1\ge n_2\ge n_3\ge \dots \dots \ge n_k\ge 1$ 且 $k\ge 1$。这种表示方法叫做 $n$ 的拆分，求 $m$ 的不同拆分的个数。

题目分析

这道题可以用完全背包的方法去做，分析一下，可以把 $m$ 的大小当成体积，把拆分的数量当成完全背包的方案数，把每一个 $n_i$ 当成物品的体积。
因为完全背包的状态转移方程为: $dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-c[i]]+w[i])$
所以求完全背包的方案数的状态转移方程为：$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-c[i]]$
将其类推到整数拆分问题上，可得：$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-i]$

上代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 1e3 + 9;
const int mod = 1e9 + 9;  //取模
int f[N];
int main() {
    //freopen("divide.in", "r", stdin);
    //freopen("divide.out", "w", stdout);
    memset(f, 0, sizeof f);
    f[0][0] = 1;
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j <= n; ++j) {
            if(j >= i) {
    		f[i][j] = f[i][j - i] + f[i - 1][j];  //状态转移
   	    } 
            else {
                f[i][j] = f[i - 1][j];   //边界条件
            }
        }
    }
    cout << f[n][n] << endl;
    return 0;
}

整数拆分问题空间复杂度优化

我们知道完全背包能优化空间复杂度，那么整数拆分问题可以吗？

答案是肯定的。同理，完全背包求方案数的优化后转移方程是：$dp[j]=dp[j-c[i]]+dp[j]$
以此类推，整数拆分问题的转移方程是： $dp[j]=dp[j]+dp[j-i]$

上代码：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 1e3 + 9;
const int mod = 1e9 + 9;
int f[N];
int main() {
    //freopen("divide.in", "r", stdin);
    //freopen("divide.out", "w", stdout);
    int t;
    cin >> t;
    f[0] = 1;
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = i; j <= n; ++j) {
           (f[j] += f[j - i]) %= mod;
        }
    }
    cout << f[n] << endl;
    return 0;
}

END