数论入门--错排

 

错排公式

错排公式

　　pala提出的问题:十本不同的书放在书架上。现重新摆放，使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法？

　　这个问题推广一下，就是错排问题: n个有序的元素应有n！种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。

　　下面用递推的方法推导错排公式:

　　当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.

　　第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;

　　第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况.1,把它放到位置n,那么,对于剩下的n-2个元素,就有M(n-2)种方法;2,不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;

　　综上得到：M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]

　　特殊地，M(1)=0,M(2)=1

　　下面通过这个递推关系推导通项公式:

　　为方便起见，设M(k)=k!N(k), (k=1,2,…,n)

　　则N(1)=0,N(2)=1/2

　　n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)

　　即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)

　　于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N(2)-N(1)]=(-1)^n/n!

　　因此：N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!

　　　　　N(2)-N(1)=(-1)^2/2!

　　相加，可得

　　　　　N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!

　　因此

　　　　　M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]

　　可以得到

　　错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)

　　此外也可以用容斥原理证明:

　　正整数1、2、3、……、n的全排列有n!种，其中第k位是k的排列有（n-1)!，当k取1、2、3、……、n时，共有n*（n-1)!种排列，由于是错排，这些排列应排除，但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次，应补上；在补上时，把同时有三个数不错排的排列多补上了一次，应排除；……；继续这一过程，得到错排的排列种数为

　　　　　M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1)^n*n!/n!=sigma(k=2~n)(-1)^k*n!/k!

　　即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1)^n/n!]

　　注:sigma表示连加符号,(k=2~n)是连加的范围

 

　　另外：书上的错排公式为Dn=n!(1/0!-1/1!+1/2!-1/3!-.....+(-1)^n/n!),此公式算n很大时就很不方便．后来发现它可以化简为１个优美的式子Dn=[n!/e+0.5],[x]为取整函数．

　　公式证明较简单．观察一般书上的公式，可以发现e-1的前项与之相同，然后作比较可得/Dn-n!e-1/<1/(n+1)<0.5,于是就得到这个简单而优美的公式。

 

　　写了那么多，赠送一个类似题目的代码吧！

 

复制代码

#include
int main()
{
 int i,n;
__int64 a[21];
 a[1]=0;
a[2]=1;
for(i=3; i<21;i++)
a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);
while(scanf("%d",&n)!=-1)
 {
printf("%I64d\n",a[n]);
 }
return 0;
}