整数划分问题的高效解法 （n logn）

一般此类问题可以看做是一个背包问题，不过有更优秀的解法。

1.数字互不相同（51nod1201）( O(nn‾√) O ( n n ) )

注意到最多有 O(n‾√) O ( n ) 个数相加，则记 fi,j f i , j 表示 j j 个数和为 i i 的方案数。我们讨论一个方案的最小值是否为1，如果为1，则 fi−1,j−1→fi,j f i − 1 , j − 1 → f i , j ，否则我们把每一个数减去1， fi−j,j→fi,j f i − j , j → f i , j

即： fi,j=fi−j,j−1+fi−j,j f i , j = f i − j , j − 1 + f i − j , j ， 时间复杂度

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2.数字可以重复 (51nod1259)( O(nn‾√)/O(nlogn) O ( n n ) / O ( n log ⁡ n ) )

O(nn‾√) O ( n n ) 解法

注意到 ≥n‾√ ≥ n 的数最多出现 n‾√ n 次，那我们分开做。
前面做背包，后面同样考虑最小的数，若为 n‾√ n 那么 fi−B,j−1→fi,j f i − B , j − 1 → f i , j ，否则 fi−j,j→fi,j f i − j , j → f i , j
时间复杂度为 O(nn‾√) O ( n n )
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O(nlogn) O ( n log ⁡ n ) 解法

利用分拆数和五边形数的关系，我们得到一个卷积递推式。
f∗g=f−1⇒f=11−g f ∗ g = f − 1 ⇒ f = 1 1 − g 。
其中 g3k2±k2=(−1)k+1 g 3 k 2 ± k 2 = ( − 1 ) k + 1
在 (modxn+1) ( mod x n + 1 ) 意义下做多项式求逆即可，时间复杂度 O(nlogn) O ( n log ⁡ n ) 。
（为了方便，这里对998244353取模，对于任意模数可以考虑实数FFT或者三模数NTT，由于常数较大这里跳过）。
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也可以直接递推，易知复杂度为 O(nn‾√) O ( n n )