空间解析几何与向量代数

一. 向量及其线性运算

1. 模长等于$1$的向量称为单位向量。
2. 向量的线性运算：
   ①加法；
   ②数乘：$\lambda \alpha =(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z)$。

二. 数量积、向量积、混合积

1. 两向量的数量积（也称“点乘”或“内积”）

数量积，即积完之后是一个数。

• 几何表示：$a\cdot b=|a||b|\cos \theta$，其中，$\cos \theta$为$a与b$的夹角。
• 代数运算：设$a=(a_x,a_y,a_z)，b=(b_x,b_y,b_z)，则a\cdot b=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$。
• 运算规律：$a\cdot b=b\cdot a；(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$。
• 应用：判断垂直，$a\perp b\iff a\cdot b=0\iff a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z=0$

2. 两向量的向量积（也称“叉乘”）

顾名思义，积完之后是一个向量。

• 几何表示：$$||a\times b|{|}_2=||a|{|}_2||b|{|}_2\sin \theta$$其中，$\theta$是$a$与$b$的夹角，$0\le \theta \le \pi$，叉乘结果同时垂直向量$a$和$b$。
• 代数表示：设$a=(a_x,a_y.a_z)，b=(b_x,b_y,b_z)$，则$$a\times b=\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$$
  • 有没有想过为什么是这样呢？这是根据他的几何意义造出来的，如果$(a\times b)$和$a$做点乘（数量积）或$(a\times b)$和$b$做点乘，则会产生以下的结果：$$(a\times b)\cdot a=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|=0$$ $$(a\times b)\cdot b=\left|\begin{array}{ccc}{b}_x& b_y& b_z\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|=0$$因为行列式中某两行元素成比例或相等，则行列式等于0。
    从而说明$(a\times b)$和$a，b$都垂直，即垂直于$a，b$组成的平面。
  • 那$\sin \theta$为什么是怎么推出来的呢？这里从略，我不太理解，累了。
• 运算规律：$$\begin{gathered} a\times b=-(b\times a) \\ (a+b)\times c=a\times c+b\times c \end{gathered}$$
• 应用：判断两向量是否平行$$a\parallel b\iff a\times b=0\iff \frac{a_x}{b_x}=\frac{a_y}{b_y}=\frac{a_z}{b_z}$$

3. 混合积

• 定义：称$(a\times b)\cdot c$为三个向量的混合积。
  设$a=(a_x,a_y,a_z)，b=(b_x,b_y,b_z)$，则
  $$\begin{array}{rl}(a\times b)\cdot c& =\left|\begin{array}{ccc}{c}_x& c_y& c_z\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|\\ & \\ & =\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|\end{array}$$
• 应用：判断三个向量共面。$a,b,c$三点共面$\iff (a\times b)\cdot c=0$

三. 平面及其方程

平面是由一个定点和法向量进行确定.

1.

• 平面的点法式方程$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$这里的$(x_0,y_0,z_0)$为平面上一定点，$n=(A,B,C)$为平面的法向量。
• 平面的一般式方程$$Ax+By+Cz+D=0$$这里的$n=(A,B,C)$为平面的法向量。
• 平面的截距式方程$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$显然，这里的$a,b,c$分别为平面在三个坐标轴上的距离，$n=(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})$为平面的法向量。

2. 平面与平面的特殊位置关系

• 垂直：利用法向量也垂直进行判断，即法向量的数量积（点乘）为零。
• 平行：利用法向量也平行进行判断，即法向量的向量积（叉乘）为零。

四. 空间直线及其方程

空间直线有一个定点和方向向量确定，与直线平行的非零向量称为他的方向向量.

1. 空间直线的点向式方程

$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$
这里的$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一定点，$s=(m,n,p)$为直线的方向向量。

2. 空间直线的参数式方程

这是由“点向式”方程推导而来的。
$$\{\begin{array}{c}x=x_0+\mathrm{m}t\\ y=y_0+\mathrm{n}t\\ z=z_0+\mathrm{p}t\end{array}$$
这里的$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一定点，$s=(m,n,p)$为直线的方向向量。

3. 空间直线的一般式方程

$$\{\begin{array}{c}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$这里的直线为两平面的交线，方向向量$s=n_1\times n_2$.（叉乘）

五. 一组距离公式

• 点${\mathrm{P}}_0=({\mathrm{x}}_0,{\mathrm{y}}_0,{\mathrm{z}}_0)$到平面$Ax+By+Cz+D=0$的距离：$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$下面进行证明：
  
  图中$E=(e_1,e_2,e_3)$为平面上一定点，$n=(A,B,C)$为平面法向量，$P_0$为平面外一点，$\stackrel{⟶}{P_{0}H}\perp n$，则$P_0$到平面的距离为$||\stackrel{⟶}{\mathrm{EH}}|{|}_2$，由数量积的几何表示可知，$\stackrel{⟶}{E{P}_0}\cdot n=||\stackrel{⟶}{E{P}_0}|{|}_2||n|{|}_2\cos \theta$，我们知道，$n\cdot (-E)=D$，故$n\cdot (x_0-e_1,y_0-e_2,z_0-e_3)=A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D$，故$$\cos \theta =\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{||\stackrel{⟶}{E{P}_0}|{|}_2||n|{|}_2}$$故
  $$\begin{array}{rl}d& =||\stackrel{⟶}{\mathrm{HE}}|{|}_2\\ & =||\stackrel{⟶}{E{P}_0}|{|}_2\cos \theta \\ & =\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{||n|{|}_2}\\ & =\frac{A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\end{array}$$
  为了保证距离是非负数，需要加绝对值，即
  $$d==\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$证毕！
• 点${\mathrm{P}}_0=({\mathrm{x}}_0,{\mathrm{y}}_0,{\mathrm{z}}_0)$到空间直线$$\frac{x-x_1}{m}=\frac{y-y_1}{n}=\frac{z-z_1}{p}$$的距离：$$d=\frac{||\stackrel{⟶}{P_{0}P}\times s|{|}_2}{||s|{|}_2}$$这里的$P$是直线上任意一点，$s=(m,n,p)$是直线上的方向向量。
  证明：
  

由向量叉乘（向量积）的几何意义可知：$||\stackrel{⟶}{P_{0}P}\times s|{|}_2=||\stackrel{⟶}{P_{0}P}|{|}_2||s|{|}_2\sin \theta$，从而有
$$\frac{||\stackrel{⟶}{P_{0}P}\times s|{|}_2}{||s|{|}_2}=||\stackrel{⟶}{P_{0}P}|{|}_2\sin \theta =||P_{0}H|{|}_2=d$$
得证！

六. 曲面及其方程

三元方程$\mathrm{F}(x,y,z)=0$在空间里面表示一张曲面$\mathrm{S}$，叫做曲面的一般式。
平面是一种特殊的曲面。

1. 旋转曲面

平面上的曲线（母线）绕其平面上的一条直线（轴）旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面。
设$yoz$坐标面上的一条曲线$$L:\{\begin{array}{c}f(y,z)=0\\ x=0\end{array}$$

• 绕$z$轴旋转一周所得旋转曲面的方程为：$f(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0$；
• 绕$y$轴旋转一周所得旋转曲面的方程为：$f(y,\pm \sqrt{x^2+z^2})=0$；
  由此可见，三维图形是由二维图形堆叠而成，研究明白二维图形以及二维怎样堆叠为三维图形，就能真正领会三维图形的机理。

2. 柱面的概念

柱面的关键是其无限长。空间解析几何中，缺少字母的方程都是柱面。

3. 二次曲面

• 旋转圆锥面：$z^2=a(x^2+y^2)$
  
• 抛物面：$z=a(x^2+y^2)$