漫步微积分十三——高阶导数

y=x4 的导数是 y′=4x3 。但是 4x3 依然可导， 12x2 。用 y′′ 表示，叫做原函数的二阶导。对二阶导 y′′=12x2 求导得到三阶导 y′′′=24x ，一直这样做知道没有定义为止。对于高阶导，有些符号是共用的，我们都应该熟悉他们。对函数 u=f(x) 逐次求导得

一阶导数二阶导数 三阶导数n阶导数f′(x)f′′(x)f′′′(x)fn(x)y′y′′y′′′y(n)dydxd2ydx2d3ydx3dnydxnddxf(x)d2dx2f(x)d3dx3f(x)dndxnf(x)

这些符号按阶数给出。用符号 ′ 表示比较麻烦，所以在三阶导以上不经常用。有时候，将原函数看作零阶导数会非常方便，写作 f(x)=f(0)(x) 。第三列的上标位置看着很奇怪，我们这样理解，它是一阶导数的二次求导

d2ydx2=ddx(dydx)

等式的左边，上标 2 在 d 和 dx 的上部，和右边的符号相一致。

更高阶的导数有什么用呢？之后我们会看到，在几何上， f′′(x) 的符号决定了曲线 y=f(x) 是凸的还是凹的。另外二阶导数的定性分析还会提炼成定量的计算公式。

物理学中，二阶导非常重要。如果 f=f(t) 给出了时刻 t 运动目标的位置，那么我们就知道位置函数的一阶和二阶导

v=dsdta=dvdt=d2sdt2

分别是时间 t 对应的速度和加速度。加速的的中心地位来源于牛顿第二定律，即运动物体的加速度与施加于它的力成正比。牛顿力学的基本问题是利用微积分来推导运动的性质。之后我们会接触到相关问题。

高阶导不像二阶导，它没有这样基本的几何或物理解释。然而，我们会看到，这些导数也是有用的，它将函数扩展成无穷级数。

所有的应用在后面的文章中都会进行详细的讨论。同时，我们目前需要熟练计算方法。

例1：很容易求出函数 y=x5 的所有导数：

y′y(4)=5x4,y′=20x3,y′′′=60x2=120x,y(5)=120,y(n)=0n>5

下面的符号将经常用到。对于任何正数 n ，符号 n! 是从 1 到 n 所有正数的乘积:

n!=1⋅2⋅3⋯n

因此， 1!=1,2!=1⋅2=2,3!=1⋅2⋅3=6,4!=1⋅2⋅3⋅4=24 等等。如果我们重复对 y=xn 求导，那么

y′y′′y′′′y(n)y(k)=====nxn−1n(n−1)xn−2n(n−1)(n−2)xn−3n(n−1)(n−2)⋯2⋅1=n!0k>n.

例2：为了找到 y=1/x=x−1 n 阶导数的通式，我们从一阶导开始计算直到观察出模式来：

y′y′′y′′′y(4)y(5)=====−x−22x−3−2⋅3x−4=−3!x−42⋅3⋅4x−5=4!x−5−2⋅3⋅4⋅5x−6=−5!x−6.

观察上面的过程，不考虑符号，那么 y(n)=n!x−(n+1) 。对于符号有种比较方便的形式 (−1)n ，如果是奇数，那么它等于 −1 ，如果是偶数，那么它等于 1 。因此对于所有的正整数 n

y(n)=(−1)nn!x−(n+1)

例3：对一个圆 x2+y2=a2 ，利用隐函数求导，可以找到 y′′ 的简洁形式。首先对等式两边求导得

2x+2yy′=0ory′=−xy.(1)

利用除法法则在求导得

y′′=−y−xy′y2.

将(1)代入上式得

y′′=−y−x(−x/y)y2=−y2+x2y3=−a2y3

这对每个人来说都是比较简洁的形式了。

例4：重复求导很容易的证明二项式定理。对于任意正整数 n ，考虑函数

(1+x)n=(1+x)(1+x)⋯(1+x)

很明显，该函数是 n 次多项式，即

(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn(2)

我们的问题是找出系数是多少。如果我们令 x=0 ，立马得出 a0=1 。接下来，对(2)式两边重复求导得

n(1+x)n−1n(n−1)(1+x)n−2n(n−1)(n−2)(1+x)n−3===a1+2a2x+3a3x2+⋯+nanxn−12a2+3⋅2a3x+⋯+n(n−1)anxn−23⋅2a3+⋯+n(n−1)(n−2)anxn−3

等等。这些等式对所有 x 都成立，所以我们取 x=0 。从而得出系数值为：

a1ak==n,a2=n(n−1)2,a3=n(n−1)(n−2)2⋅3,…n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)1⋅2⋅3⋯k,…,an=1.

得到系数后，代入等式(2)得

(1+x)n=1+nx+n(n−1)1⋅2x2+n(n−1)(n−2)1⋅2⋅3x3+⋯+n(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)1⋅2⋅3⋯kxk+⋯+xn.(3)

这就是二项式定理。