高等数学复习笔记——第八章:向量代数与空间解析几何

高等数学复习笔记

  • 向量代数与空间解析几何
        • 一、向量及其线性运算
        • 二、数量积,向量积
        • 三、平面及其方程
        • 四、空间直线及其方程
        • 五、曲面及其方程
        • 六、空间曲线及其方程

向量代数与空间解析几何

一、向量及其线性运算

  1. 加减法:平行四边形法则

  2. 向量的数乘

  3. 向量平行的充要条件: a ⃗ ≠ 0 ⃗ \vec{a}≠\vec{0} a =0 ,则向量 b ⃗ \vec{b} b 平行于想来那个 a ⃗ \vec{a} a 的充要条件是:

    存在唯一的实数 λ \lambda λ,使 b ⃗ = λ a ⃗ \vec{b}=\lambda{\vec{a}} b =λa

  4. 空间直角坐标系:右手坐标系

  5. 向量的模,方向角,投影

    ①模,两点间的距离公式
    r ⃗ = ( x , y , z ) ∣ r ⃗ ∣ = x 2 + y 2 + z 2 ∣ A B ∣ = ∣ A B ⃗ ∣ = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 \vec{r}=(x,y,z)\\ |\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ |AB|=|\vec{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2} r =(x,y,z)r =x2+y2+z2 AB=AB =(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2
    ②方向角和方向余弦

    非零向量 r ⃗ \vec{r} r 与三条坐标轴的夹角 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ称为向量的方向角
    c o s α = x ∣ O M ⃗ ∣ = x ∣ r ⃗ ∣ c o s β = y ∣ O M ⃗ ∣ = y ∣ r ⃗ ∣ c o s α = z ∣ O M ⃗ ∣ = z ∣ r ⃗ ∣ cos\alpha=\frac{x}{|\vec{OM}|}=\frac{x}{|\vec{r}|}\\ cos\beta=\frac{y}{|\vec{OM}|}=\frac{y}{|\vec{r}|}\\ cos\alpha=\frac{z}{|\vec{OM}|}=\frac{z}{|\vec{r}|}\\ cosα=OM x=r xcosβ=OM y=r ycosα=OM z=r z
    ③向量在坐标轴上的投影

    向量 r ⃗ \vec{r} r 在u轴上的投影记做 P r j u r ⃗ Prj_u\vec{r} Prjur ( r ⃗ ) u (\vec{r})_u (r )u

    性质:
    P r j u a ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ c o s φ P r j u ( a ⃗ + b ⃗ ) = P r j u a ⃗ + P r j u b ⃗ Prj_u\vec{a}=|\vec{a}|cos\varphi\\ Prj_u(\vec{a}+\vec{b})=Prj_u\vec{a}+Prj_u\vec{b} Prjua =a cosφPrju(a +b )=Prjua +Prjub
    注:投影是一个数

    易错点:平行的单位向量根据方向有两个

二、数量积,向量积

  1. 两向量的向量积

    a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ c o s θ \vec{a}·\vec{b}=|a||b|cos\theta a b =abcosθ

    ∣ b ∣ ⃗ c o s θ \vec{|b|}cos\theta b cosθ b ⃗ \vec{b} b a ⃗ \vec{a} a 上的投影
    a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ⋅ P r j a b ⃗ \vec{a}·\vec{b}=|\vec{a}|·Prj_a\vec{b} a b =a Prjab
    ③向量的数量积满足的性质:

    • 交换律
    • 分配律
    • 结合律
  2. 向量积

    ①物理意义:力产生的力矩

    ②向量积:
    c ⃗ = a ⃗ × b ⃗ ∣ c ⃗ ∣ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ s i n θ 方 向 : 垂 直 于 a ⃗ 和 b ⃗ 所 决 定 的 平 面 , c ⃗ 的 指 向 按 右 手 规 则 从 a ⃗ 转 向 b ⃗ 来 明 确 规 定 \vec{c}=\vec{a}×\vec{b}\\ |\vec{c}|=|\vec{a}||\vec{b}|sin\theta\\ 方向:垂直于\vec{a}和\vec{b}所决定的平面,\vec{c}的指向按右手规则从\vec{a}转向\vec{b}来明确规定 c =a ×b c =a b sinθa b c a b
    ③符合规律

    • a ⃗ × a ⃗ = 0 \vec{a}×\vec{a}=0 a ×a =0
    • 如果两个非零向量的向量积为0,那么这两个向量平行,反之也成立
    • a ⃗ × b ⃗ = − b ⃗ × a ⃗ \vec{a}×\vec{b}=-\vec{b}×\vec{a} a ×b =b ×a -------------即,向量积不满足交换律
    • ( a ⃗ + b ⃗ ) × c ⃗ = a ⃗ × c ⃗ + b ⃗ × c ⃗ (\vec{a}+\vec{b})×\vec{c}=\vec{a}×\vec{c}+\vec{b}×\vec{c} (a +b )×c =a ×c +b ×c

    ④计算公式
    a ⃗ × b ⃗ = [ i ⃗ j ⃗ k ⃗ a x a y a z b x b y b z ] \vec{a}×\vec{b}=\begin{bmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ a_x&a_y&a_z\\ b_x&b_y&b_z \end{bmatrix} a ×b =i axbxj aybyk azbz
    小tip:用向量积计算三角形的面积
    S △ A B C = 1 2 ∣ A B ⃗ ∣ ∣ A C ⃗ ∣ s i n ∠ A = 1 2 ∣ A B ⃗ × A C ⃗ ∣ S_{△ABC}=\frac{1}{2}|\vec{AB}||\vec{AC}|sin∠A=\frac{1}{2}|\vec{AB}×\vec{AC}| SABC=21AB AC sinA=21AB ×AC

三、平面及其方程

  1. 曲面方程与空间曲线方程的概念

    ①空间曲面: F ( x , y , z ) = 0 , ( 3 − 1 ) F(x,y,z)=0,(3-1) F(x,y,z)=031满足下述关系

    • 曲面S上任意一点的坐标都满足方程(3-1)
    • 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(3-1)

    ②空间曲线:看做两个空间曲面的交点

    F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0

  2. 平面点的法式方程

    平面的法向量: n ⃗ = ( A , B , C ) \vec{n}=(A,B,C) n =(A,B,C)

    已知平面上的一点: M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) M_0(x_0,y_0,z_0) M0(x0,y0,z0)

    平面的点法式方程:
    A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0 A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0

  3. 平面的一般方程

    一般方程;
    A x + B y + C z + D = 0 − − − − − − 可 由 点 法 式 推 得 Ax+By+Cz+D=0------可由点法式推得 Ax+By+Cz+D=0
    截距式方程:
    x a + y b + z c = 1 \frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 ax+by+cz=1
    其中a,b,c为平面在x,y和z轴上的截距

  4. 两平面的夹角

    ①两平面的法向量的夹角被称为两平面的夹角 c o s θ = ∣ c o s ( n 1 ⃗ , n 2 ⃗ ) ∣ cos\theta=|cos(\vec{n_1},\vec{n_2})| cosθ=cos(n1 ,n2 )

    ②点到平面的距离公式:
    d = ∣ A x 0 + B y 0 + C z 0 + D ∣ A 2 + B 2 + C 2 d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} d=A2+B2+C2 Ax0+By0+Cz0+D

四、空间直线及其方程

  1. 空间直线的一般方程

    空间直线可以看做两个平面的交线
    A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0

  2. 空间直线的对称式方程

    ①方向向量:与直线平行的向量称为直线的方向向量

    ②对称式方程(点向式方程)
    x − x 0 m = y − y 0 n = z − z 0 p \frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} mxx0=nyy0=pzz0
    ③参数方程:(令上面的对称式方程=t,即得参数方程)
    x = x 0 + m t y = y 0 + n t z = z 0 + p t x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\ z=z_0+pt\\ x=x0+mty=y0+ntz=z0+pt
    ④如何由一般方程转换为对称式方程?

    • 任取一点 x 0 = . . . x_0=... x0=...代入求解得直线上的一点
    • 利用两平面的交线一定与两直线的法向量都垂直,利用向量积求出直线的方向向量
  3. 两直线的夹角

    方向向量求夹角

  4. 直线与平面的夹角

    平面的法向量 n ⃗ = ( A , B , C ) \vec{n}={(A,B,C)} n =(A,B,C)

    直线的方向向量 s ⃗ = ( m , n , p ) \vec{s}=(m,n,p) s =(m,n,p)
    s i n φ = A m + B n + C p A 2 + B 2 + C 2 m 2 + n 2 + p 2 sin\varphi=\frac{Am+Bn+Cp}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}} sinφ=A2+B2+C2 m2+n2+p2 Am+Bn+Cp

  5. 空间内一点到直线的距离公式
    d = ∣ M 0 M ⃗ × s ⃗ ∣ ∣ s ⃗ ∣ d=\frac{|\vec{M_0M}×\vec{s}|}{|\vec{s}|} d=s M0M ×s
    其中 M 0 M_0 M0为直线外一点,M为直线上任意的一点, s ⃗ \vec{s} s 为直线的方向向量

    证明:

    高等数学复习笔记——第八章:向量代数与空间解析几何_第1张图片

  6. 平面束解题方法

    ①平面束的含义:

    设直线L由下面的方程组确定,且两个方程的系数不成比例:
    A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 — — — — ( 4 − 11 ) A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 — — — — ( 4 — — 12 ) A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0————(4-11)\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0————(4——12)\\ A1x+B1y+C1z+D1=0411A2x+B2y+C2z+D2=0412
    若有一点在直线L上,则必同时满足(4-11)和(4-12),则也必定满足
    A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 + λ ( A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) = 0 — — — — ( 4 − 13 ) A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0————(4-13) A1x+B1y+C1z+D1+λ(A2x+B2y+C2z+D2)=0(413)
    所以(4-13)就是通过直线L的平面束,不同的 λ \lambda λ对应不同的平面。

    平面束在求投影的时候常用

五、曲面及其方程

  1. 曲面研究的基本问题

    ①球面方程的标准形式:
    ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = R 2 (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2 (xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2
    ②球面方程的一般形式:
    A x 2 + A y 2 + A z 2 + D x + E y + F z + G = 0 Ax^2+Ay^2+Az^2+Dx+Ey+Fz+G=0 Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0

  2. 旋转曲面

    ①已知在yoz平面上有一已知曲线: f ( y , z ) = 0 f(y,z)=0 f(y,z)=0

    • 绕z轴旋转一圈: f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0 f(±\sqrt{x^2+y^2},z)=0 f(±x2+y2 ,z)=0
    • 绕y轴旋转一圈: f ( y , ± x 2 + z 2 ) = 0 f(y,±\sqrt{x^2+z^2})=0 f(y,±x2+z2 )=0

    经验:绕哪个轴转,那个轴不变,其他的轴的变量做如上的变换

  3. 柱面:不含某一个坐标的面的方程,称为柱面方程

  4. 二次曲面:方程 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0所表示的曲面称为二次方程

    • 椭圆锥面 x 2 a 2 + y 2 b 2 = z 2 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2 a2x2+b2y2=z2
    • 椭球面 x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2+c2z2=1
    • 单叶双曲面 x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2+b2y2c2z2=1
    • 双叶双曲面 x 2 a 2 − y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1 a2x2b2y2c2z2=1
    • 椭圆抛物面 x 2 a 2 + y 2 b 2 = z \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z a2x2+b2y2=z
    • 双曲抛物面(马鞍面) x 2 a 2 − y 2 b 2 = z \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z a2x2b2y2=z

六、空间曲线及其方程

  1. 空间曲线的一般方程(6-1)
    F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0

  2. 空间曲线的参数方程
    x = x ( t ) , y = y ( t ) , z = z ( t ) . x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t).\\ x=x(t),y=y(t),z=z(t).

  3. 空间曲线在坐标轴上的投影

    由方程组(6-1)消去z(可能的话)之后得到的方程
    H ( x , y ) = 0 — — — — — — — — ( 6 − 5 ) H(x,y)=0————————(6-5) H(x,y)=0(65)
    则在xoy面上的投影为:
    H ( x , y ) = 0 , z = 0 H(x,y)=0,\\ z=0 H(x,y)=0,z=0
    同理可得包含曲线C在yOz和zOx面上的投影的曲线方程
    R ( y , z ) = 0 x = 0 R(y,z)=0\\ x=0 R(y,z)=0x=0
    或:
    T ( x , z ) = 0 y = 0 T(x,z)=0\\ y=0 T(x,z)=0y=0

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