高等数学复习笔记——第八章：向量代数与空间解析几何

向量代数与空间解析几何

一、向量及其线性运算

1. 加减法：平行四边形法则

2. 向量的数乘

3. 向量平行的充要条件：$a\ne 0$，则向量$b$平行于想来那个$a$的充要条件是：

   存在唯一的实数$\lambda$，使$b=\lambda a$

4. 空间直角坐标系：右手坐标系

5. 向量的模，方向角，投影

   ①模，两点间的距离公式
   $$\begin{gathered} r=(x,y,z) \\ |r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ |AB|=|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2} \end{gathered}$$
   ②方向角和方向余弦

   非零向量$r$与三条坐标轴的夹角$\alpha ,\beta ,\gamma$称为向量的方向角
   $$\begin{gathered} cos\alpha =\frac{x}{|OM|}=\frac{x}{|r|} \\ cos\beta =\frac{y}{|OM|}=\frac{y}{|r|} \\ cos\alpha =\frac{z}{|OM|}=\frac{z}{|r|} \end{gathered}$$
   ③向量在坐标轴上的投影

   向量$r$在u轴上的投影记做$Pr{j}_{u}r$或$(r{)}_u$

   性质：
   $$\begin{gathered} Pr{j}_{u}a=|a|cos\phi \\ Pr{j}_u(a+b)=Pr{j}_{u}a+Pr{j}_{u}b \end{gathered}$$
   注：投影是一个数

   易错点：平行的单位向量根据方向有两个

二、数量积，向量积

1. 两向量的向量积

   ①$a\cdot b=|a||b|cos\theta$

   ②$|b|cos\theta$为$b$在$a$上的投影
   $$a\cdot b=|a|\cdot Pr{j}_{a}b$$
   ③向量的数量积满足的性质：

   • 交换律
   • 分配律
   • 结合律

2. 向量积

   ①物理意义：力产生的力矩

   ②向量积：
   $$\begin{gathered} c=a\times b \\ |c|=|a||b|sin\theta \\ 方向：垂直于a和b所决定的平面，c的指向按右手规则从a转向b来明确规定 \end{gathered}$$
   ③符合规律

   • $a\times a=0$
   • 如果两个非零向量的向量积为0，那么这两个向量平行，反之也成立
   • $a\times b=-b\times a$-------------即，向量积不满足交换律
   • $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$

   ④计算公式
   $$a\times b=\left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right]$$
   小tip：用向量积计算三角形的面积
   $$S_{△ABC}=\frac{1}{2}|AB||AC|sin\angle A=\frac{1}{2}|AB\times AC|$$

三、平面及其方程

1. 曲面方程与空间曲线方程的概念

   ①空间曲面：$F(x,y,z)=0，（3-1）$满足下述关系

   • 曲面S上任意一点的坐标都满足方程（3-1）
   • 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(3-1)

   ②空间曲线：看做两个空间曲面的交点

   $$\begin{gathered} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{gathered}$$

2. 平面点的法式方程

   平面的法向量：$n=(A,B,C)$

   已知平面上的一点：$M_0(x_0,y_0,z_0)$

   平面的点法式方程：
   $$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$$

3. 平面的一般方程

   一般方程;
   $$Ax+By+Cz+D=0------可由点法式推得$$
   截距式方程：
   $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$
   其中a,b,c为平面在x,y和z轴上的截距

4. 两平面的夹角

   ①两平面的法向量的夹角被称为两平面的夹角$cos\theta =|cos(n_1,n_2)|$

   ②点到平面的距离公式：
   $$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

四、空间直线及其方程

1. 空间直线的一般方程

   空间直线可以看做两个平面的交线
   $$\begin{gathered} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0 \\ {A}_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0 \end{gathered}$$

2. 空间直线的对称式方程

   ①方向向量：与直线平行的向量称为直线的方向向量

   ②对称式方程（点向式方程）
   $$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$$
   ③参数方程：（令上面的对称式方程=t，即得参数方程）
   $$\begin{gathered} x=x_0+mt \\ y=y_0+nt \\ z=z_0+pt \end{gathered}$$
   ④如何由一般方程转换为对称式方程？

   • 任取一点$x_0=...$代入求解得直线上的一点
   • 利用两平面的交线一定与两直线的法向量都垂直，利用向量积求出直线的方向向量

3. 两直线的夹角

   方向向量求夹角

4. 直线与平面的夹角

   平面的法向量$n=(A,B,C)$

   直线的方向向量$s=(m,n,p)$
   $$sin\phi =\frac{Am+Bn+Cp}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$$

5. 空间内一点到直线的距离公式
   $$d=\frac{|M_{0}M\times s|}{|s|}$$
   其中$M_0$为直线外一点，M为直线上任意的一点，$s$为直线的方向向量

   证明：

   

6. 平面束解题方法

   ①平面束的含义：

   设直线L由下面的方程组确定，且两个方程的系数不成比例：
   $$\begin{gathered} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0————（4-11） \\ {A}_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0————（4——12） \end{gathered}$$
   若有一点在直线L上，则必同时满足(4-11)和(4-12)，则也必定满足
   $$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+\lambda (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0————(4-13)$$
   所以(4-13)就是通过直线L的平面束，不同的$\lambda$对应不同的平面。

   平面束在求投影的时候常用

五、曲面及其方程

1. 曲面研究的基本问题

   ①球面方程的标准形式：
   $$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2$$
   ②球面方程的一般形式：
   $$A{x}^2+A{y}^2+A{z}^2+Dx+Ey+Fz+G=0$$

2. 旋转曲面

   ①已知在yoz平面上有一已知曲线：$f(y,z)=0$

   • 绕z轴旋转一圈：$f(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0$
   • 绕y轴旋转一圈：$f(y,\pm \sqrt{x^2+z^2})=0$

   经验：绕哪个轴转，那个轴不变，其他的轴的变量做如上的变换

3. 柱面：不含某一个坐标的面的方程，称为柱面方程

4. 二次曲面：方程$F(x,y,z)=0$所表示的曲面称为二次方程

   • 椭圆锥面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$
   • 椭球面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
   • 单叶双曲面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
   • 双叶双曲面$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
   • 椭圆抛物面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$
   • 双曲抛物面（马鞍面）$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$

六、空间曲线及其方程

1. 空间曲线的一般方程（6-1）
   $$\begin{gathered} F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0 \end{gathered}$$

2. 空间曲线的参数方程
   $$\begin{gathered} x=x(t), \\ y=y(t), \\ z=z(t). \end{gathered}$$

3. 空间曲线在坐标轴上的投影

   由方程组(6-1)消去z（可能的话）之后得到的方程
   $$H(x,y)=0————————(6-5)$$
   则在xoy面上的投影为：
   $$\begin{gathered} H(x,y)=0, \\ z=0 \end{gathered}$$
   同理可得包含曲线C在yOz和zOx面上的投影的曲线方程
   $$\begin{gathered} R(y,z)=0 \\ x=0 \end{gathered}$$
   或：
   $$\begin{gathered} T(x,z)=0 \\ y=0 \end{gathered}$$