Codeforces #619 & #620 反思

背景

CF #619 div.2

赛时状态

开考没有被卡，A 和 B 都过的很快，状态还不错。

C 对我来说就是雷击，一道数学题，卡了巨久，期间想过各种各样的方式来推导，就是没有想过通过移动把相邻两个区间的变化看作二次函数。

C 做不出来，我就看 D，D 是一个构造题，我先推出来欧拉回路一定存在，然后作出了一个错误决定：码一个欧拉回路测试小数据，构造最终方案的通性。最终我找到了一个极麻烦的方法，细节很多以至于整场都没调完，极限状况下甚至是错的。。。然而赛后发现，再观察一下下图就有一个 simple 的通解。。。

E 和 F 都没看。事实证明 E 是一个比较简单的题。。。

题目&题解

A 与 B 过水不讲。

C 题面：

有一个长度为 $n$ 的 01 串，已知其中有 $k$ 个 1，问对于所有 01 串，最大的含 1 子串个数为多少。

$1\le k\le n\le 10^9$

C 题解：

含 1 子串最多不好计算，不如计算全 0 子串最少。

这样的话，将整个 01 串用 1 劈开，每段连续的 0 会产生 $le{n}^2$ 个全 0 子串。

我们可以视作相邻两段全 0 子串中间间隔的 1 可以“移动”。

那么，令相邻两全 0 子串长度和为 $x$，最优必然是分成两段 $x/2$。

综上，我们可以得出，最优串的 0 连续段长度必然是 $l$ 或 $l+1$ 两种。

答案就容易构造了。复杂度 $O(1)$。

D 题面：

有一个 $n\ast m$ 的格阵，相邻两格之间有两条方向相反的单向边。问是否存在一种方案，能从 $(1,1)$ 出发，走 $k$ 条边，且不重复走同一条边。如果有，则构造一种方案。方案应由不多于 $3000$ 个操作组成，每个操作为：给定一个数 $x$ 表示重复次数，长度 $\le 4$ 的字符串表示动向。

$n,m\le 500$，$k\le 10^9$

D 题解：

可以发现每个点度数均是偶数，我们有理由相信存在欧拉回路。

所以不存在方案当且仅当 $k$ 大于边数。

然后我们考虑怎么构造。

经过摸索可以得到一个 simple 的方案：

1. 先把第一行来回走完。
2. 向下一步走到第二行，向右走，每走一格就上下一次，然后向右继续。
3. 走完以后，向左一路回到第一列，然后重复 2,3 直到最后一行。
4. 在走完最后一行后，一路向上回到 $(1,1)$。

容易发现如此构造必然是欧拉回路，且操作数在要求范围内。

注意每一步，如果走完了 $k$ ，则要特判。

时间复杂度 $O(n+m)$。

E 题面：

给定一个 $n\ast m$ 的格阵，每个格有颜色。

一个 $\text{nanosoft}$ 定义为一个长为 $2$ 的倍数的正方形，且能沿两条中线被切成四块正方形，左上角颜色均为 R，右上角为 G，右下角为 B，左下角为 Y。

$q$ 次询问，每次给定一个原格阵的子阵，问子阵内最大的 $\text{nanosoft}$ 格数。

$n,m\le 500$，$q\le 3\ast 10^5$。

E 题解：

先用 $O(n^2)$ 的经典做法求出以每个点为左上角正方形的右下角的最大 $\text{nanosoft}$。然后用二维 ST 表预处理二维最大值。

对于每个询问，我们二分答案，然后根据答案将待查询矩阵缩小一圈，排除必然不合法的情况。然后在剩下的矩阵内用 ST 表查询，得到的值作为判据即可。

时间复杂度 $O(nm\log n\log m+q\log nm)$

F 没看。。。

反思

为什么做不出实际很简单的题呢？

最终的结论是：数学功底不足，参赛经验还是不够。

CF #620 div.2

赛时状态

A,B,C 都是秒了。本以为这么顺成绩应该挺好的，结果就止步于此了。。。

看 D 刹那间没什么头绪，所以去看了 E。结果这一去不复返。。。

看 E，弱智地以为要分类讨论一大堆，于是就写了个树剖然后狂分，最后除了 -4 以外一无所获，pretest 8 成为过不去的坎。。。

最后回来看 D，又脑子抽风，没迸出灵感。就滚蛋了。

F1,F2 根本没动。事实证明这是最愚蠢的决定，因为这是我比较擅长的 dp。

题目&题解

A,B,C 过水不讲。

D 题面：

一个 $1$ ~ $n$ 的排列，给定一个长度为 $n-1$ 由 $<$ 和 $>$ 组成的字符串确定相邻元素的大小关系。给出两种构造排列的方案，使得其 LIS 长度最小/最大。

$n\le 2\ast 10^5$

D 题解：

对于 LIS 最小，考虑每个连续的 $<$ 段。最小的 LIS 长度必然大于等于最长的连续 $<$ 段长度 +1。然后我们要构造一种方案，使得它取等。

从前到后，优先往每个段里面放大数即可。容易发现一旦如此构造，那么对于任意一段 $<$ 段的末尾，其之后均不会有大于它的值，也就达到了最小。

对于 LIS 最大，考虑每个连续的 $>$ 段。对于每段，必然只有最多一个数被选入 LIS。我们可以构造一种方案使得每段都有被选入 LIS 里的数，这样就能达到最大。

从前到后，优先往每个段里面放小数即可。容易发现一旦如此构造，那么下一段必然能取出一个比当前 LIS 末尾更大的数。这样每段都会有被选入 LIS 的数。

时间复杂度 $O(n)$。

E 题面：

一棵有 $n$ 个点的树，有 $q$ 次询问，每次加一条边，然后询问一个点到另一个点是否存在经过恰 $k$ 条边的路径。（可以重复经过点与边）

$n,q\le 10^5$，$k\le 10^9$

E 题解：

分类讨论是否经过新加的边，共有 3 种情况。此处设加的边为 $a$ ~ $b$，询问 $x$ ~ $y$。

那么有 3 种可能路径：$x$ ~ $y$，$x$ ~ $a+b$ ~ $y+1$，$x$ ~ $b+a$ ~ $y+1$。这 3 种路径包含了所有可能的路径种类。

考虑如果一条路径长度 $\le k$ 且与 $k$ 奇偶性相同，那么必然可以。

所以逐个验证 3 条路径就好了。倍增 LCA 时间复杂度 $O(n\log n+q\log n)$。

F 咕咕咕

反思

考场上不能一根筋死磕，并且要灵活转化，利用简化的思想去分类，而不是有啥来啥，按题意去钻牛角尖。

另外，也证明我思维强度还不够，没有看出来 D 的构造。。。还要加强思维。