今天集训被线代狠狠的虐了一发。
不过还有一点收获的，比如这个。
数列 \(f\) 满足 \(f_n=\sum\limits_{i=1}^ka_if_{n-i}(n\ge k)\)，其中 \(a_1\dots a_k,f_0\dots f_{k-1}\) 均给出。求 \(f_n\)。
\(n\le 10^9,k\le 30000\)。
先要弄懂一些基本定义，
矩阵，行列式，高斯消元这些基本的东西就自己看别的东西去吧，我也不知道有什么好的资料，不妨去洛谷搜模板看题解，那里面的都不错。
然后讲一下特征值，特征多项式和 Hamilton-Cayley 定理，就能做这题了。
对于 \(n\times n\) 的矩阵 \(A\)，如果存在数 \(\lambda\) 和非零列向量 \(x\) 满足 \(Ax=\lambda x\)，那么 \(\lambda\) 是 \(A\) 的特征值，\(x\) 是 \(A\) 的特征向量。
那么 \(Ax=\lambda I x\)。\((\lambda I-A)x=0\)。因为 \(x\) 不为零向量，所以 \(\det(\lambda I-A)=0\)，也就是 \(\lambda I-A\) 不满秩。
我们称 \(\det(\lambda I-A)=0\) 为 \(A\) 的特征多项式，元是 \(\lambda\)。特征多项式是 \(n\) 次的，他的 \(n\) 个根就是 \(A\) 的所有特征值。（可能有相等的根）
对于上三角矩阵，所有的特征值就是主对角线上的所有值。
如果有 \(n\) 个线性无关的特征向量 \(x_i\)（当且仅当 \(A\) 满秩），那么有 \(A\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\lambda_1&0&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&0&\cdots&0\\\cdots\\0&0&0&\cdots&\lambda_n\end{bmatrix}\)。
Hamilton-Cayley 定理：对于矩阵 \(A\) 的特征多项式 \(f(\lambda)=\sum\limits_{i=0}^nc_i\lambda^i\)，有 \(f(A)=0\)，即 \(\sum\limits_{i=0}^nc_iA^i=0\)。
会了这些，就可以开始了。
\(O(k^3\log n)\) 的相信大家都会。（什么？不会？赶快去学矩阵快速幂）
首先考虑写出转移矩阵 \(A\) 和初始行向量 \(f\)，我们要求的是 \(f\times A^n\) 的第 \(0\) 维。
假如我们构造出了一个序列 \(c\) 使得
\[A^n=\sum\limits_{i=0}^{k-1}c_iA^i\]
那么有：
\[f\times A^n=\sum\limits_{i=0}^{k-1}c_i(f\times A^i)\]
\[(f\times A^n)_0=\sum\limits_{i=0}^{k-1}c_i(f\times A^i)_0\]
\[f_n=\sum\limits_{i=0}^{k-1}c_if_i\]
那么就可以 \(O(k)\) 计算了。
那么 \(c\) 怎么弄呢？
令 \(R(A)=\sum\limits_{i=0}^{k-1}c_iA^i\)
假如存在 \(k\) 次多项式 \(G(A)\)，使得 \(A^n=F(A)G(A)+R(A)\)。(标准多项式除法形式)
当 \(G(A)=0\) 时就有 \(A^n=R(A)\)，所以要求的就是 \(A^n\bmod G(A)\)，快速幂+多项式除法 \(O(k\log k\log n)\) 解决。
那么如何构造 \(G(A)=0\) 的多项式呢？
看到上面的 Hamilton-Cayley 定理，令 \(G(\lambda)=\det(\lambda I-A)\) 即可。
手玩一下，发现 \(\det(\lambda I-A)=-\sum\limits_{i=0}^{k-1}\lambda^ia_{k-i}+\lambda^k\)。（注意交换行的时候取相反数！！！）
所以 \(g_i=-a_{k-i}(i\ne k),g_k=1\)。
时间复杂度 \(O(k\log k\log n)\)。
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=333333,mod=998244353;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline int read(){
int x=0,f=0;char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9') f|=ch=='-',ch=getchar();
while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return f?-x:x;
}
int n,k,s,f[maxn],g[maxn],fac[maxn],ans[maxn],prod[maxn],tmp[maxn],lim,l,rev[maxn],invt[maxn],Arev[maxn],Btmp[maxn],Brev[maxn],Brevinv[maxn],C[maxn];
inline int add(int x,int y){return x+y>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) ans=mul(ans,a);
return ans;
}
void init(int upr){
for(lim=1,l=0;lim>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
}
void NTT(int *A,int tp){
FOR(i,0,lim-1) if(i>1);
init(deg<<1);
FOR(i,0,deg-1) invt[i]=A[i];
FOR(i,deg,lim-1) invt[i]=0;
NTT(invt,1);NTT(B,1);
FOR(i,0,lim-1) B[i]=mul(B[i],sub(2,mul(invt[i],B[i])));
NTT(B,-1);
FOR(i,deg,lim-1) B[i]=0;
}
void division(int *A,int *B,int *D,int n,int m){
if(n>=1;
}
FOR(i,0,k-1) s=add(s,mul(f[i],ans[i]));
printf("%d\n",s);
}