Prim正确性的证明

$Prim$的过程

此处以最小生成树为例。最大生成树，其实也是可以使用 $prim$ 的。$Prim$ 的过程是：

首先，任意选择一个点，作为一个连通块。接下来，重复执行下面的步骤，直到所有点都被加入了连通块中：

1. 定义两个点之间的距离，为两个点之间的最短路。
2. 定义一个点 $x$ 到当前连通块 $S$ 的距离，为 ${\min }_{v\in S}dis(x,v)$ 。即 $x$ 到达 $S$ 中的某个点的距离，取最小值。
3. 找到一个点，这个点到当前连通块的距离最小。
4. 将这个点加入连通块，并且加入它的距离所对应的边。

有一个特点，就是新加入的点一定与当前联通块中的某个点直接相邻。

正确性证明

利用一种反证法。我们假设某一步搞错了，看看接下来会发生什么。

这里的“出错”，我们定义成：加入了一条错误的边（它本不属于最小生成树，但程序误认为其应当属于）。

最初：绝对正确

无论怎么说，只选择了一个点的时候是一定正确的——此时一条边也没有，怎么会有搞错的边呢？

中途：万一错了

假设某一次加边，加错了！在此之前，我们所加入的边都是正确的。

不妨设原本正确的连通块是 $T_0$ ，此时加入了一条出错的边 $(u,v)$ ，那么整个程序结束后应该长这样：

生成树包含每一个点，所以 $T_0+T_1=V$ 。此处的 $V$ 指的是所有的点。

正确的生成树是什么呢？应该是

$T_0,T_1$ 仍然是那两个 $T_0,T_1$ ，没有发生变化。

根据prim的过程， $T_0$ 周围最短的一条边（距离最小的）是 $(u,v)$ ，所以 $(x,y)$ 的权值是大于 $(u,v)$ 的。那么，我们不妨在正确的生成树身上做一点调整：我们把 $(x,y)$ 删掉，换上 $(u,v)$ 。

现在，我们得到的是一个生成树吗？我想，是的。

考虑生成树的定义：恰好 $n-1$ 条边，并且覆盖了所有的点，连通。

• 连通：$T_0$ 内部本来是连通的，$T_1$ 也是。我用一座桥 $(u,v)$ 把二者连接了起来，当然仍然是连通的。
• 恰好 $n-1$ 条边：当然是这样的。
• 覆盖了所有的点：当然是这样的。

于是，我们得到了新的生成树。可是，新的生成树的权值更小！——我们删掉了较大的权值，又加入了较小的权值。

我们找到了比最小生成树更小的生成树？相当于是 $x<0$ 的非负实数解。不存在的！

所以 $prim$ 是没有错误的。没有错误，意味着是正确的。

后话

我曾经不相信 $prim$ 是正确的，想通后写了这篇博客。

但当时自己写的并不好（而且这是我的第一篇博客 -_-#）。

现在重新修改了两三下——因为这篇博客的阅读量最多。我也不知道为什么，我明明感觉这篇博客是没有什么技术含量的啊？

我为这篇博客的未修改版道歉！（因为我自己都看不下去）