Prim正确性的证明
P r i m Prim Prim的过程
此处以最小生成树为例。最大生成树，其实也是可以使用 p r i m prim prim 的。 P r i m Prim Prim 的过程是：
首先，任意选择一个点，作为一个连通块。接下来，重复执行下面的步骤，直到所有点都被加入了连通块中：
- 定义两个点之间的距离，为两个点之间的最短路。
- 定义一个点 x x x 到当前连通块 S S S 的距离，为 min v ∈ S d i s ( x , v ) \min_{v\in S}dis(x,v) minv∈Sdis(x,v) 。即 x x x 到达 S S S 中的某个点的距离，取最小值。
- 找到一个点，这个点到当前连通块的距离最小。
- 将这个点加入连通块，并且加入它的距离所对应的边。
有一个特点，就是新加入的点一定与当前联通块中的某个点直接相邻。
正确性证明
利用一种反证法。我们假设某一步搞错了，看看接下来会发生什么。
这里的“出错”，我们定义成：加入了一条错误的边（它本不属于最小生成树，但程序误认为其应当属于）。
最初：绝对正确
无论怎么说，只选择了一个点的时候是一定正确的——此时一条边也没有，怎么会有搞错的边呢？
中途：万一错了
假设某一次加边，加错了！在此之前，我们所加入的边都是正确的。
不妨设原本正确的连通块是 T 0 T_0 T0 ，此时加入了一条出错的边 ( u , v ) (u,v) (u,v) ，那么整个程序结束后应该长这样：
生成树包含每一个点，所以 T 0 + T 1 = V T_0+T_1=V T0+T1=V 。此处的 V V V 指的是所有的点。
正确的生成树是什么呢？应该是
T 0 , T 1 T_0,T_1 T0,T1 仍然是那两个 T 0 , T 1 T_0,T_1 T0,T1 ，没有发生变化。
根据prim的过程， T 0 T_0 T0 周围最短的一条边（距离最小的）是 ( u , v ) (u,v) (u,v) ，所以 ( x , y ) (x,y) (x,y) 的权值是大于 ( u , v ) (u,v) (u,v) 的。那么，我们不妨在正确的生成树身上做一点调整：我们把 ( x , y ) (x,y) (x,y) 删掉，换上 ( u , v ) (u,v) (u,v) 。
现在，我们得到的是一个生成树吗？我想，是的。
考虑生成树的定义：恰好 n − 1 n-1 n−1 条边，并且覆盖了所有的点，连通。
- 连通： T 0 T_0 T0 内部本来是连通的， T 1 T_1 T1 也是。我用一座桥 ( u , v ) (u,v) (u,v) 把二者连接了起来，当然仍然是连通的。
- 恰好 n − 1 n-1 n−1 条边：当然是这样的。
- 覆盖了所有的点：当然是这样的。
于是，我们得到了新的生成树。可是，新的生成树的权值更小！——我们删掉了较大的权值，又加入了较小的权值。
我们找到了比最小生成树更小的生成树？相当于是 x < 0 x<0 x<0 的非负实数解。不存在的！
所以 p r i m prim prim 是没有错误的。没有错误，意味着是正确的。
后话
我曾经不相信 p r i m prim prim 是正确的，想通后写了这篇博客。
但当时自己写的并不好（而且这是我的第一篇博客 -_-#）。
现在重新修改了两三下——因为这篇博客的阅读量最多。我也不知道为什么，我明明感觉这篇博客是没有什么技术含量的啊？
我为这篇博客的未修改版道歉！（因为我自己都看不下去）