计算几何、凸集、凸函数、凸规划简介

计算几何

计算几何研究的对象是几何图形。
早期人们对于图像的研究一般都是先建立坐标系，把图形转换成函数，然后用插值和逼近的数学方法，特别是用样条函数作为工具来分析图形，取得了可喜的成功。然而，这些方法过多地依赖于坐标系的选取，缺乏几何不变性，特别是用来解决某些大挠度曲线及曲线的奇异点等问题时，有一定的局限性。
几何图形是实际物体的抽象描述，几何化是指被研究对象本身的性质所决定的一种必然趋势。
在国外，计算几何的代数化有一股很强的势头。为了在计算机和图形显示终端表示和处理各种复杂的曲面和几何形体，需进行大量的计算，往往需要将问题代数化、线性化、离散化，特别对于最新式的全色连续色调的图像，必须对显示屏上的光栅网格点逐点进行计算扫描。
随着交互式图形显示系统在CAGD中的广泛应用，计算机图形学作为新兴学科得到迅速发展。其主要研究对象是图形的生成、变换、显示、剪取、隐藏线和隐藏面的消除、阴影色调及相应的光顺处理等。其中剪取问题是计算机图形学的一个基本问题，剪取的关键是速度，尤其是在交互式动态显示和最新式的光扫描中

计算几何理论中过两点的一条直线的表达式：

$$x_1\ne x_2$$且为n维空间的两个点则：

$$y=\theta x_1+(1-\theta )x_2$$

这个与高中学的有所不同，区别在与以前是一个平面，这个增加了角度可以就更广泛的表示空间内所有的两个点连成的直线

什么是仿射集

仿射集包含了集合内点的所有仿射组合。若C是仿射集，(x_1,x_2…x_n\in C,\theta_1+\theta_2+…+\theta_n=1)，则(\theta_1{x_1}+\theta_2{x_2}+…+\theta_n{x_n})也属于仿射集合C。

什么是凸集

在凸几何中，凸集(convex set)是在凸组合下闭合的仿射空间的子集。更具体地说，在欧氏空间中，凸集是对于集合内的每一对点，连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内，直观上凸集就是凸的。
例如，立方体是凸集，但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集。特别的，凸集，实数R上（或复数C上）的向量空间中，如果集合S中任两点的连线上的点都在S内，则称集合S为凸集。

直线是凸集，也是仿射集

三维空间的一个平面

Ax+By+Cz+D=0 (参数,A,B,C,D是描述平面空间特征的常数)

选择逆时针凸多边形的三个连续顶点
(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)
建立方程组来求A,B,C,D

超平面

超平面是指n维线性空间中维度为n-1的子空间。它可以把线性空间分割成不相交的两部分。比如二维空间中，一条直线是一维的，它把平面分成了两块；三维空间中，一个平面是二维的，它把空间分成了两块。

凸函数

定义

凸函数是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。

Hessen矩阵的定义

Hessen矩阵是是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题

判别方法

判定方法：
可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数

对于实数集上的凸函数，一般的判别方法是求它的二阶导数，如果其二阶导数在区间上非负，就称为凸函数。（向下凸）
如果其二阶导数在区间上恒大于0，就称为严格凸函数

对于多元函数f(X)，我们可以通过其Hessian矩阵（Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵）的正定性来判断。如果Hessian矩阵是半正定矩阵，则是f(X)凸函数

实例：

例子：
$$f(x)=x^3是凸函数吗？$$
对f(x)求二阶导，结果为6x
当x>0时为凸函数
当x<0时不是凸函数

凸规划

定义

若最优化问题的目标函数为凸函数，不等式约束函数也为凸函数，等式约束函数是仿射的，则称该最优化问题为凸规划。凸规划的可行域为凸集，因而凸规划的局部最优解就是它的全局最优解。当凸规划的目标函数为严格凸函数时，若存在最优解，则这个最优解一定是唯一的最优解

判别是否为凸规划

凸规划问题可以采用KKT条件判别

例子

$$minf(x)=2x_1^2+x_2^2+2x_3^2+x_1{x}_3-x_1{x}_2+x_1+2x_2$$
$$s.t.g_1(x)=x_1^2+x_2^2-x_3⩽0$$
$$g_2(x)=x_1+x_2+2x_3⩽16$$
$$g_3(x)=-x_1-x_2+x_3⩽0$$

计算如下：

此次学习对于计算几何、凸集、凸函数、凸规划有了一定的了解，学到了 一些知识。

参考文献

1.https://baike.baidu.com/item/%E9%BB%91%E5%A1%9E%E7%9F%A9%E9%98%B5/2248782?fr=aladdin
2.https://www.jianshu.com/p/82a44414a1e7
3.https://blog.csdn.net/sanyiji/article/details/105664612
4.https://blog.csdn.net/hb707934728/article/details/72772443/
5.https://zhuanlan.zhihu.com/p/88690017
6.https://www.jianshu.com/p/ba02b92baaaf
7.http://latex.codecogs.com/eqneditor/editor.php
8.https://baike.baidu.com/item/%E8%AE%A1%E7%AE%97%E5%87%A0%E4%BD%95/295518?fr=aladdin