MATLAB求解模型待定系数

在进行方程待定系数求解时，MATLAB提供了多种解决方案。常用 的有：矩阵左除（超定方程求解）、转换为线性回归、曲线拟合、非线性回归等方法。

这里以求解如下方程系数为例：
$$a_p(v_s,v_w,F_n)=C\frac{{v_s}^{\alpha }}{{v_w}^{\beta }}(\frac{F_n}{R_c}{)}^{\gamma /2}$$

曲线拟合方法

即通过MATLAB拟合工具箱cftool进行拟合。
虽然MATLAB曲线拟合工具箱表面是只能是拟合二元曲线，实际上通过方程的变化可以拟合更多元的曲线，但始终还是存在无法拟合高元曲线的问题。因此针对模型1中的情况，无法使用曲线拟合工具箱。

超定方程组最小二乘/线性方程回归

对模型两边取对数可得将其转变为线性关系：
$$\ln a_p=\ln C+\alpha \ln v_s-\beta \ln v_w+\frac{\gamma }{2}\ln \frac{F_n}{R_c}$$

由式可见，lnap与lnvs，lnvw，lnFn/Rc成线性关系。可以采用超定方程组最小二乘进行求解其系数，同样也可以采用线性回归的方法求解其系数。通过MATLAB求解超定方程组如下：

%%
%矩阵左除法（最小二乘）
A = [ones(size(vs_fit)) log(vs_fit) -log(vw_fit) log(Fn_fit/Rc)/2];
b = log(ap_fit);
coefs_matrix = A\b   %左除，相当于求inv(A)

同样，可以基于线性回归函数regress()对上式进行回归，具体方法如下：

%%
%曲线拟合方法/线性回归方法
x_curve_fit = [ones(size(vs_fit)) log(vs_fit) -log(vw_fit) log(Fn_fit/Rc)/2];
y_curve_fit = log(ap_fit);
[coefs_curve_fit, confidence_intervals, residual_error, RINT, STATS]...
    = regress(y_curve_fit, x_curve_fit);

上述两种方法求得的系数一致。

非线性回归求解系数

MATLAB自带有非线性回归函数，基于迭代的方法求解待定系数。具体实现如下：

%%
%多元非线性回归方法
x_regress_fit = [vs_fit vw_fit Fn_fit/Rc];
y_regress_fit = ap_fit;
my_model = inline('beta(1)*x_regress_fit(:,1).^beta(2)./x_regress_fit(:,1).^beta(3).*x_regress_fit(:,3).^(beta(4)/2)',...
    'beta','x_regress_fit'); % 创建内联函数，变量为beta和x_regress_fit
beta0 = [10000 -0.1 0.9 1];  % 设置迭代系数初始值
[beta, r] = nlinfit(x_regress_fit, y_regress_fit, my_model, beta0);
% 运行后警告雅可比矩阵为病态矩阵，且所得结果错误。

采用该方法时，虽然能得到相应结果，但是发现报出警告：雅可比矩阵病态，且得到的结果与实际相差很大。可见，这种方法有一定的局限性。

最终效果如下：

参考文献

MATLAB超定方程求解
MATLAB非线性回归