1.1 线性方程组（线性代数及其应用-第5版-系列笔记）
内容概述
本节首先引入了线性方程以及线性方程组的概念，通过解一个线性方程组，指出了线性方程组解的几个一般情况（无解，有唯一解，有无穷多解）；接着，引入了矩阵的概念，指出可以利用矩阵来表示线性方程组的系数和方程等号右边的常数。最后，讲解了一种解线性方程组的方法（高斯消元法），并论述了线性方程组的解的情况（存在性和唯一性）。
概念梳理
线性方程
包含变量 x 1 x_1 x1, x 2 x_2 x2, ⋯ \cdots ⋯, x n x_n xn的线性方程是形如
a 1 x 1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = b a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b a1x1+a2x2+⋯+anxn=b
的方程，其中 b b b与系数 a 1 a_1 a1, a 2 a_2 a2, ⋯ \cdots ⋯, a n a_n an是实数或复数，通常是已知数。
注意，这里的线性，指的是变量的次数，也就是 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1, x_2, \cdots, x_n x1,x2,⋯,xn的次数。与系数和方程右边的数无关。
线性方程组
线性方程组是由一个或几个包含相同变量 x 1 x_1 x1, x 2 x_2 x2, ⋯ \cdots ⋯, x n x_n xn的线性方程组成的，例如：
2 x 1 − x 2 + 1.5 x 3 = 8 x 1 − 4 x 3 = − 7 \begin{aligned} 2x_1 - x_2 + 1.5x_3 = 8\\ x_1 \quad\quad - 4x_3 =-7 \end{aligned} 2x1−x2+1.5x3=8x1−4x3=−7
线性方程组的解和解集
线性方程组的解是一组数 ( s 1 , s 2 , ⋯ , s n ) (s_1, s_2, \cdots, s_n) (s1,s2,⋯,sn)，用这组数分别代替 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1, x_2, \cdots, x_n x1,x2,⋯,xn时所有方程的两边相等。
方程组所有可能的解的集合称为线性方程组的解集。若两个线性方程组有相同的解集，则这两个线性方程组称为等价的。
以有两个变量的线性方程组为例，从解析几何的角度考虑，两个方程可以分别看作两条直线，它们之间可能有唯一一个交点，也可能平行或者重合，由此引出线性方程组解的几个情况：
- 无解
- 有唯一解
- 有无穷多解
如果一个线性方程组有一个解或无穷多个解，那么称这个线性方程组是相容的；
如果一个线性方程组无解，那么称这个线性方程组是不相容的。
矩阵
一个线性方程组包含的主要信息可以用一个称为矩阵的紧凑的矩形阵列表示。给出如下方程组：
x 1 − 2 x 2 + x 3 = 0 2 x 2 − 8 x 3 = 8 5 x 1 − 5 x 3 = 10 \begin{aligned} &x_1 - 2x_2 + x_3 = 0\\ &2x_2 - 8x_3 =8\\ &5x_1 -5x_3=10 \end{aligned} x1−2x2+x3=02x2−8x3=85x1−5x3=10
那么矩阵
[ 1 − 2 1 0 2 − 8 5 0 − 5 ] \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ 5 & 0 & -5 \end{bmatrix} ⎣⎡105−2201−8−5⎦⎤
称为该方程组的系数矩阵。
而
[ 1 − 2 1 0 0 2 − 8 8 5 0 − 5 10 ] \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8 \\ 5 & 0 & -5 & 10 \end{bmatrix} ⎣⎡105−2201−8−50810⎦⎤
称为该方程组的增广矩阵。
解线性方程组
解线性方程组的基本思路是把方程组用一个更容易解的等价方程组（即有相同解集的方程组）代替。
用来化简线性方程组的三种基本变换是：
- 把某个方程换成它与另一方程的倍数的和；
- 交换两个方程的位置；
- 把某一方程的所有项乘以一个非零常数。
例如，有如下方程：
x 1 − 2 x 2 + x 3 = 0 2 x 2 − 8 x 3 = 8 5 x 1 − 5 x 3 = 10 \begin{aligned} x_1 - 2x_2 + x_3 = 0\\ \qquad 2x_2 - 8x_3 =8\\ 5x_1\quad -5x_3=10 \end{aligned} x1−2x2+x3=02x2−8x3=85x1−5x3=10
通过上述的三种变换，可以化简成如下形式：
x 1 − 2 x 2 = 1 x 2 = 0 x 3 = − 1 \begin{aligned} x_1 - 2x_2 \quad = 1\\ \quad x_2 \quad =0\\ \qquad \qquad x_3=-1 \end{aligned} x1−2x2=1x2=0x3=−1
从而解出方程。
上述三种基本变换对应于增广矩阵的下列变换：
- （倍加变换）把某一行换成它本身与另一行的倍数的和。
- （对换变换）把两行对换。
- （倍乘变换）把某一行的所有元素乘以同一个非零数。
我们称两个矩阵为行等价的，若其中一个矩阵可以经一系列初等行变换成为另一个矩阵。行变换是可逆的。
并且，
若两个线性方程组的增广矩阵是行等价的，则它们具有相同的解集。
存在与唯一性问题
线性方程组的两个基本问题：
- 方程组是否相容，即它是否至少有一个解？
- 若它有解，它是否只有一个解，即解是否唯一?
例：确定下列方程组是否相容：
x 2 − 4 x 3 = 8 2 x 1 − 3 x 2 + 2 x 3 = 1 4 x 1 − 8 x 2 + 12 x 3 = 1 \begin{aligned} x_2 - 4x_3 = 8\\ 2x_1 -3x_2 + 2x_3 = 1\\ 4x_1 -8x_2 + 12x_3 = 1 \end{aligned} x2−4x3=82x1−3x2+2x3=14x1−8x2+12x3=1
其增广矩阵可按上述方法化简为：
[ 2 − 3 2 1 0 1 − 4 8 0 0 0 15 ] \begin{bmatrix} 2 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -4 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 15 \end{bmatrix} ⎣⎡200−3102−401815⎦⎤
显然，如果写成方程组的形式，第三个方程 0 x 3 = 15 0x_3 = 15 0x3=15不可能成立，所以这个方程组无解，也就是说，这个方程组是不相容的。从几何的角度来看，是因为没有同时落在三个平面上的点。
总结
本节首先描述了线性代数研究的基本问题：解线性方程/线性方程组，由此引入了矩阵的概念，介绍了一种解线性方程组的基本方法，并讨论了线性方程组解的几种情况。