【CF#612E】Square Root of Permutation 置换群

AC通道：http://codeforces.com/problemset/problem/612/E

【题目翻译】

定义置换的平方为1~n的排列做两次该置换得到的结果。

已知一个置换的平方，求该置换。

【题解】

这是一道神题，曾被出在2016湖南NOI模拟赛的Day1T1，当时现场仅有1人AC.

我们考虑一个置换q，例如

\begin{Bmatrix}
 1&  2&  3&  4&5 \\ 
 2&  1&  4&  5&3 
\end{Bmatrix}

可以循环分解为[1 2][3 4 5]

q的平方为：

\begin{Bmatrix}
 1&  2&  3&  4&5 \\ 
 1&  2&  5&  3&4 
\end{Bmatrix}

可以循环分解为[1][2][3 5 4]

由此可见对于一个k元轮换，若k为偶数，则将置换平方，该轮换会变为2个长度相等的新的轮换。

若k为奇数，则将置换平方，该轮换会右移两步，如[3 4 5]右移两步变为[4 5 3]或[3 5 4]，仍是奇轮换。

所以我们的做法就很显然了：将题中所给的平方置换循环分解，对于偶轮换，我们可以两两合并，如[1 3 5]和[2 4 6]合并为[1 2 3 4 5 6](自己脑补这个过程)，而对于奇轮换，我们把它从中间分开，然后合并，如[1 3 5 2 4]→[1 3 5][2 4]→[1 2 3 4 5]，这样就可以得到原置换。

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define FILE "read"
#define MAXN 1000010
#define up(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define dn(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
#define cmax(a,b) a=max(a,b)
#define cmin(a,b) a=min(a,b)
namespace INIT{
	char buf[1<<15],*fs,*ft;
	inline char getc(){return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;}
	inline int read(){
		int x=0,f=1;  char ch=getc();
		while(!isdigit(ch))  {if(ch=='-')  f=-1;  ch=getc();}
		while(isdigit(ch))  {x=x*10+ch-'0';  ch=getc();}
		return x*f;
	}
}using namespace INIT;
int n,p[MAXN],vis[MAXN],ans[MAXN];
vectora[MAXN],b[MAXN];
int main(){
	freopen(FILE".in","r",stdin);
	freopen(FILE".out","w",stdout);
	n=read();
	//up(i,1,n)  p[read()]=i;  坑点：湖南NOI模拟赛那道题得这样读入，卡掉了不少人的正解
	up(i,1,n)  p[i]=read();
	up(i,1,n){
		int num=0;
		for(int j=i;!vis[j];j=p[j]) vis[j]=1,++num,a[i].push_back(j);
		b[num].push_back(i);
	}
	up(i,1,n)  if(i%2==0&&(b[i].size()&1))  {puts("-1");  return 0;}
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	up(i,0,(int)b[1].size()-1)  ans[b[1][i]]=b[1][i]; 
	up(i,2,n)  up(j,0,(int)b[i].size()-1){
		if(i&1){
			int x=a[b[i][j]][0],y=a[b[i][j]][i/2+1];
			while(!vis[x]){
				vis[x]=vis[y]=1;  ans[x]=y;  x=p[x];  ans[y]=x;  y=p[y];
			}
		}
		else{
			int x=a[b[i][j]][0],y=a[b[i][j+1]][0];
			while(!vis[x]&&!vis[y]){
				vis[x]=vis[y]=1;  ans[x]=y;  x=p[x];  ans[y]=x;  y=p[y];
			}
			j++;
		}
	}
	up(i,1,n)  printf("%d ",ans[i]);
	return 0;
}