第一章 概率论的基本概念

概率论与数理统计的学习内容来源于中国大学MOOC,以及参考书籍《概率论与数理统计》第四版,浙江大学。
随机现象
 在一定条件下,有可能出现多种结果;而且在事情发生前不能知道结果。
随机试验
 概念:对随机现象的观察、记录、实验。
 特征:1 在相同条件下可重复进行;2 事先知道所有可能的结果;3试验前不知道哪个结果会发生。

样本空间
 概念:所有可能结果的集合。一般用S表示。S={e}。
 每一个可能的结果称为样本点
 例子:S={正面、反面} S={0,1,2,…} S={x:x>=0} S={(正,反),(正,正),)(反,反),(反,正)}

随机事件
样本空间的子集称为随机事件,简称事件。
事件A发生,一定是A中的一个样本点发生。
事件表示方法
 语言:事件A=至少有5个人在候车
 集合:A={5,6,7,…}
分类
 必然事件:一定会发生的事件。例如S。
 基本事件:只有一个样本点的事件。事件C=只有3人候车;或者C={3}
 不可能事件:每次试验都不会发生的事件。D={x:x>=3 且x<3}

事件关系
 1包含 AB
 2 相等 A=B
 3 互斥 AB=ϕ
 4 对立事件/逆事件 A¯¯¯

事件运算
 1 AB
 2 AB
 3 AB={x|xAxB}
 4 A¯¯¯
 运算定律
  1交换律
  2结合律
  3分配律
  4对偶律/摩根定律
  第一章 概率论的基本概念_第1张图片
  
 韦恩图

频率
fn(A)=nan A在n次试验中发生的次数。
性质
 1 0<=fn(A)<=1
 2 fn(S)=1
 3 互不相容事件的概率=每个事件概率的和

概率
 随着n增加 fn(A) 趋于稳定值p,p称为事件A的概率。
 公理化定义: P(A) 满足 非负; P(S)=1 ;k个互斥事件的P= ki=1P(Ai) ,则称P(A)是事件A的概率。
 性质
  1 P(ϕ)=0
  2 P(A)=1- P(A¯¯¯)
  3 互斥:概率和
  4 如果 AB ,则P(B-A)=P(B)-P(A)。一般的事件A,B,P(B-A)=P(B)-P(AB)
  5加法公式 P( AB ) = P(A)+P(B)-P(AB) 推广公式 P( ABC )=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

等可能概型(古典概型)
 概念:如果试验样本的空间只包含有限个元素,并且试验中每个基本事件发生的可能性相同。则这种试验可以称为等可能概型。
  P(A)=AS
 例子:1 袋子里面有白球、黄球,不放回的取,第k次取到白球的概率。2 生日相同的概率。
  p(Ak)=CkaCnkbCnN 有N个球,a个黄球,b个白球,不放回的取出n个球,求恰有k个黄球的概率。

条件概率
 P(B|A)在A发生的条件下,B发生的概率。 P(B|A)=P(AB)P(A)
 第一章 概率论的基本概念_第2张图片
 
 与 P(AB)同时发生的概率区别。
 条件概率满足概率的所有性质。

乘法公式
  P(AB)=P(A)P(B|A)
  P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
  P(A1A2A3...An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2....An1)

全概率公式
第一章 概率论的基本概念_第3张图片
P(A)=ni=1P(Bi)P(A|Bi)
关键是构造合适的划分:不重不漏。

贝叶斯公式
 乘法公式 与 全概率公式推导出
  P(Bi|A)=P(ABi)P(A)==P(Bi)P(A|Bi)nj=1P(Bj)P(A|Bj)
 
独立事件
 概念:A、B两随机事件,如果 P(AB)=P(A)P(B) ,则称A、B相互独立。
 扩展:A、B相互独立=>A、 B¯¯¯ 相互独立 A¯¯¯ 、B相互独立 A¯¯¯,B¯¯¯ 相互独立。
 N个事件独立:如果 A1 A2 , A3 An n个随机事件,如果有P( A1A2A3...An )= nj=1P(Aj) ,则称 A1 A2 , A3 An 相互独立。 两两独立,不是相互独立。

事件关系
 1包含 AB
 2 相等 A=B
 3 互斥/不相容 AB=ϕ
 4 对立事件/逆事件 A¯¯¯
 5 独立 P(AB)=P(A)P(B)
 是否相容和是否独立是描述事件关系的两个维度,一个从是否会同时发生的角度描述,不会同时发生的事件叫不相容。另一个是从事件后效性方面理解,如果一个事件的发生对另外一个事件造成了影响,也就是说这个事件的发生产生了后效性,则两个事件不是独立事件;如果没有后效性,则认为是独立事件。

小概率事件
 如果事件A发生的概率p非常小(例如0.0001),A 被称为小概率事件。人们实践总结小概率事件在一次试验中不会发生。当试验次数n很大的时候,小概率事件不能被忽视。
 例如当p=0.0001,试验进行了n次,计算事件A至少会发生一次的概率。n=30000时, P(C) =1-(1-0.0001)^30000 =0.9502。

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