高斯消元法——求解线性方程组

学习了《挑程》中的高斯消元法，它是求解最基础的线性方程组（未知数个数和方程个数相等，并且有唯一解）的算法。

首先举一个例子：求解如下方程组：

⎧⎩⎨x−2y+3z=6..........①4x−5y+6z=12.......②7x−8y+10z=21.....③

我们手算一下这个方程组，过程如下：
1. ② - 4*①；③ - 7*①，得到如下式子：

⎧⎩⎨x−2y+3z=6.............①0x+3y−6z=−12.......②0x−6y−11z=−21.....③

2. ②两边同除以3，得到：

⎧⎩⎨x−2y+3z=6.............①0x+y−2z=−4..........②0x−6y−11z=−21.....③

3. ① - ②*(-2)；③-②*6，得到：

⎧⎩⎨x+0y−z=−2.............①0x+y−2z=−4...........②0x+0y+z=3..............③

4. 从③式得到 z=3 ，再代入②式得到 y=2 ，再代入到①式得到 x=1

我们这是平时手算的过程，但是一旦学习过线性代数这门课程，我们就不用再写方程式了，直接写矩阵的形式，还是这个例子，我们便可以写成如下矩阵：

⎡⎣⎢⎢147−2−5−8361061221⎤⎦⎥⎥

此矩阵为增广矩阵，竖线之前的矩阵为方程组的系数矩阵 A ，而竖线之后的列矩阵为常数矩阵 b 。
所以方程组的运算就是对增广矩阵进行相关操作，而在我们的高级语言中，可以通过二维数组来表示此矩阵，当然也可以使用vector来表示。

具体代码如下：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const double EPS = 1E-8;
typedef vector<double> vec;
typedef vector mat;

vec gauss_jordan(const mat &A, const vec &b)
{
    int n = A.size();           //n个未知数 
    mat B(n, vec(n+1));         //初始化增广矩阵 
    for(int i=0; ifor(int j=0; j//系数矩阵 
        }
    }
    for(int i=0; i//常数矩阵 
    }   

    //把正在处理的未知数系数的绝对值最大的式子换到第i行 
    for(int i=0; iint pivot = i;
        for(int j=i; jif(abs(B[j][i]) > abs(B[pivot][i])) 
                pivot = j;  
        }   
        swap(B[i], B[pivot]);
        //无解或者有无穷解 
        if(abs(B[i][i]) < EPS) return vec();

        //把正在处理的未知数的系数变为1
        double k = B[i][i];
        for(int j=i; j<=n; j++) B[i][j] /= k;
        for(int j=0; jif(i != j)
            {
                //从第j个式子中消去第i个未知数 
                for(int k=i+1; k<=n; k++)
                {
                    B[j][k] -= B[j][i] * B[i][k];
                } 
            }   
        }
//      for(int j=0; j
//      {
//          for(int k=0; k
//          {
//              printf("%f ",B[j][k]);
//          }   
//          printf("\n");
//      } 
//      printf("--------------------\n");
    }
    vec x(n);
    for(int i=0; ireturn x;
}


int main()
{
    freopen("input.txt", "r", stdin);
    int n;
    scanf("%d", &n);
    mat A(n, vec(n));
    vec b(n);
    double u;
    for(int i=0; ifor(int j=0; jscanf("%lf", &A[i][j]);
        }
    }
    for(int i=0; iscanf("%lf", &b[i]);
    }
    vec c = gauss_jordan(A, b);
    for(int i=0; iprintf("%f ",c[i]);
    }
    return 0;
}