SPOJ LCMSUM&GCDEX

爱神博客上的两道数论题。SPOJ做的苦不堪言。。。灰常难受的说，各种卡时。。。。。然后因为一个小错误，WA了很长时间。。。。PS:代码能力已经真心不忍直视了，导致长沙网络赛没有过前70。。。。。。。不多说

先是LCMSUM这道题

f(n) = sigma{lcm(i,n)} =sigma{ (i*n)/gcd(i,n)}

分母都不一样，所以要去分母，将n与gcd约分后，可以看到，对于gcd(i,n) = d的i而言

每一个i都是与n/d互质且小于n/d的数的d倍

根据数论知识，令G(x) 为 比x小且与它互质的数的和 G(x) = phi(x)*x/2

所以，所求的f(n) = sigma{t * t * phi(t) /2} * g,其中t =n/g

g是有可能成为n的最大公约数的数，那就是n的所有约数了。

但是，由于T太多，复杂度是O(T*sqrt(n)),超时。。。。555555

也就是说对于每一个查询必须是O(1)

就要预处理f(1)~f(n)的所有值。。。。。（好难的样子）

这个时候不妨用图像解决问题，f(i) = F(t,g)，其中t*g<=N,1<=g

好了，反函数图像出来了，根据反函数对称性，预处理复杂度O(n+n/2+n/3+....+sqrt(n))，这样的话就OK了。。

附代码：

#include 
#include 
  
#define N 1000005
#define ll long long
#define ss(a) scanf("%d",&a)

using namespace std;

ll euler[N],f[N],ans[N];

void prime()
{
    int i,j;
    for (i=2;i

GCDEX:

求sigma{gcd(i,j)},1<=i,j<=n

先固定一个j，求sigma{gcd(i,n)}

思路和上一道题差不多，都是枚举gcd(i,n)，发现符合要求的i都是与n/g互质的个数

sigma{gcd(i,n)} = sigma{euler(x)},其中x|n

Ans = sigma{gcd(i,j)} = sigma{euler(d)*(n/d)}  在1~n中,要统计n/d次euler(d)

同样，由于时间复杂度问题，要计算ANS[i]

Ans[i] = sigma{euler(d) * t } =G(d,t)，而我们必须把平面上所有(d,t)所对应的函数值统计到ans[i]中

由于d*t<=n,和上道题差不多，还是反函数图像处理法。附代码：

#include 
#include 
#include 
 
#define N 1000005
#define ll long long
#define ss(a) scanf("%d",&a)

using namespace std;
 
ll euler[N],f[N],ans[N];

void prime()
{
    int i,j;
    for (i=2;i