随机函数生成器（rand5()与rand7()的转化）

一、C语言中随机函数rand() 和 srand()

1） rand函数和srand函数介绍
随机函数rand() 会随机生成一个位于0-RAND_MAX之间的整数；

#include 
#include 

int main()
{
	for (int i = 0; i < 10; i++)
		printf("%d ", rand());
	printf("\n");

	return 0;
}

使用rand()函数的缺点是， 对于同一个种子，总是会产生相同的随机数序列；下面的代码在每次运行程序之后，产生的随机数序列都是相同的；多次运行的结果都是下面输出， 如下图所示：

如果要想每次程序运行产生不一样的随机数序列， 需要改变种子；使用函数
void srand(unsigned int seed);
实际开发过程中使用运行程序的当前时间作为srand参数， 只要运行时间不同， 生成的种子不同。种子不同将使得随机数序列不同；
代码如下：

#include 
#include 
#include 

int main()
{
	srand(time(NULL));

	for (int i = 0; i < 10; i++)
		printf("%d ", rand());
	printf("\n");

	return 0;
}

多次运行程序的结果是：因为for循环非常快， time函数得到的是秒， 因此在多个循环中time(NULL)的返回值是一样的，导致种子一样；

#include 
#include 
#include 

int main()
{
	for (int i = 0; i < 100; i++) {
		srand(time(NULL));
		printf("%d ", rand());
	}

	return 0;
}

注意，使用下面代码得到的随机数组是不正确的，
2） 生成一定范围内的随机数

生成[a, b) 的随机整数， 使用 (rand() %(b-a)) + a；
生成(a, b] 的随机整数， 使用(rand() %(b-1)) + a+1；
生成[a, b] 的随机整数， 使用(rand() %(b-a+1)) + a；
生成0-1之间的浮点数， 使用rand()/double(RAND_MAX)；

二、自己设计一个随机数生成器

产生随机数最简单的方法是线性同余数生成器，
x(i+1) = (A * xi mod M)；
为了开始这个序列， 必须给出x0， x0 就是种子；
一般选取M = 2^31 -1 = 2 147 483 647；
选取A = 48 271；

基于线性同余数生成器的随机数生成器代码如下，C++ 实现：

#include 
#include 

using namespace std;

static const int A = 48271;
static const int M = (1 << 31) - 1;

class Random {
public:
	explicit Random(int initialValue = 1);
	
	int randomInt();
	double random0_1();
	int randomInt(int low, int high);
private:
	int state;
};

//将种子传入Random类
Random::Random(int initialValue) {
	if (initialValue < 0)
		initialValue += M;
	state = initialValue;
	if (state == 0)
		state = 1;
}

//计算随机数
int Random::randomInt()
{
	return state = (A * state) % M;
}

//计算0-1 之间的随机数
double Random::random0_1() {
	return (double)randomInt() / M;
}

上述代码存在一个缺陷， 乘法运算 A * state 存在一个溢出的问题，导致结果中出现负数；

根据《数据结构与算法分析》书中的推算和论证， 可以使用下面公式优化；
具体的代码如下：

#include 
#include 

using namespace std;

static const int A = 48271;
static const int M = (1 << 31) - 1;//2 147 483 647
static const int Q = M / A;
static const int R = M % A;

class Random {
public:
	explicit Random(int initialValue = 1);
	
	int randomInt();
	double random0_1();
	int randomInt(int low, int high);
private:
	int state;
};

//将种子传入Random类
Random::Random(int initialValue) {
	if (initialValue < 0)
		initialValue += M;
	state = initialValue;
	if (state == 0)
		state = 1;
}

//计算随机数
int Random::randomInt()
{
	int tmpState = A * (state % Q) - R * (state / Q);

	if (tmpState >= 0)
		state = tmpState;
	else
		state = tmpState + M;

	return state;
}

//计算0-1 之间的随机数
double Random::random0_1() {
	return (double)randomInt() / M;
}

int Random::randomInt(int low, int high) {
	return (randomInt() % (high - low) + low);
}

int main()
{
	Random a(time(NULL));//每次程序运行时候，生成的种子都是不同的

	cout << a.randomInt() << endl;
	cout << a.random0_1() << endl;
	cout << a.randomInt(1, 10) << endl;

	return 0;
}

三、使用rand5() 函数生成rand7()函数

1） 问题分析
rand5() 函数能够生成1， 2， 3， 4， 5的随机数；
rand7() 函数能够生成1， 2， 3， 4， 5， 6， 7的随机数；
现在已有rand5() 函数，求通过rand5() 生成rand7();

思路， 先考虑通过rand7() 函数生成rand5() 函数， 代码如下所示：

#include 
#include 
#include 


int rand7() {
	return (rand() % 7 + 1);
}

int rand5() {
	int ret;
	while ((ret = rand7()) > 5);
	return ret;
}

int main()
{
	srand(time(NULL));
	for (int i = 0; i < 10; i++)
		printf("%d ", rand5());

	return 0;
}

在rand7() 函数中， 等概率地生成1， 2， 3， 4， 5， 6， 7；
在rand5() 函数中，舍去6， 7， 其余5个数的概率都是1/7， 因此也是等概率的；并且在rand5() 中生成1的概率是= （1/7） /（5/7） = 1/5；
得到一个一般的结论：
如果a > b, 那么一定可以用randa() 去实现randb()；
2） 使用rand5() 生成 rand7()
先将rand5() 函数映射到一个能产生更大随机数的randa() , 其中a > 7;映射后的randa() 一定满足等概率生成1-a；
考虑
rand5() + rand5() -1, 生成1-9的数，但是不是等概率的，生成1 的情形只有(1, 1); 生成2 的情形有(1, 2) 和（2， 1）；
组合
5*(rand5() -1) + rand5()；生成1-25的随机数，并且概率是一致的；
加法的前半部分产生0， 5， 10， 15， 20；
加法的后半部分产生1， 2， 3， 4， 5；
两者加起来刚好是1-25之间， 并且每个数的概率都是1/5， 1/5；
思考：
使用rand5 生成一个更大范围的随机数， 肯定至少调用2次rand5();
此时生成随机数1的概率为1/5 × 1/5 = 1/25；
要求随机数等概率， 就得生成随机数的范围为1-25；
因此将1-25 分为5个区间[1, 5], [6, 10], [11, 15], [16, 20], [21, 25]；
使用第一个随机数从5个区间中选取一个区间，使用第二个随机数从选定的区间中选取一个数；
得到： 5*(rand5() -1) + rand5()；
相关的代码如下：

#include 
#include 
#include 

int rand5() {
	return (rand() % 5 + 1);
}

int rand7() {
	int ret;
	while ((ret = 5 * (rand5() - 1) + rand5()) >7);
	
	return ret;
}

int main()
{
	srand(time(NULL));
	for (int i = 0; i < 10; i++)
		printf("%d ", rand7());

	return 0;
}

3） 代码优化
上述代码的一个缺点是，会产生1-25的随机数， 但是要截取8-25的数组，需要进行多次while循环之后才能返回得到1-7之间的随机数；
考虑舍去22， 23， 24， 25 这四个数，当返回的是1-21 的时候， 取余数+1 得到1-7的随机数；

#include 
#include 
#include 


int rand5() {
	return (rand() % 5 + 1);
}

int rand7() {
	int ret;
	while ((ret = 5 * (rand5() - 1) + rand5())) {
		if (ret <= 21)
			return ret % 7 + 1;
	}
}

int main()
{
	srand(time(NULL));
	for (int i = 0; i < 10; i++)
		printf("%d ", rand7());

	return 0;
}

四、考虑使用rand5() 函数生成rand31()函数

1） 思路1

使用两个rand5()调用最大只能产生1-25 范围的随机数， 使用3次rand5() 调用能生成1-125范围的随机数，然后在生成rand31()
2） 思路2
可以考虑使用rand5 生成rand7，然后使用rand5 和 rand7 生成1-35的随机数，之后裁剪到1-31 的随机数；