数值分析--第一章--误差分析

误差分析

误差的来源与分类

• 观测误差
• 模型误差
• 截断误差：近似计算出现的误差
• 舍入误差：由于计算级只能进行有限位的运算而产生的误差
• 绝对误差: $e=x^{\ast }-x$ 其中e为绝对误差
  如果$ϵ$满足：
  $|e|\le ϵ$, 则$ϵ$为$x$的绝对误差限
• 相对误差：
  $e_r=\frac{x^{\ast }-x}{x}=\frac{e}{x}$, $e_r$为相对误差
• 相对误差限：
  ${ϵ}_r=\frac{ϵ}{|x|}$, ${ϵ}_r$为相对误差限，同时$|e_r|\le {ϵ}_r$

有效数字

• 有效数字与绝对误差限的关系：
  $|x^{\ast }-x|\le \frac{1}{2}\times 10^{m-n}$,其中$n$为有效数字的位数，$m$为$x^{\ast }$化为标准浮点数形式下的10的$m$次幂。
  注：精确值的有效数字有无穷多位！
• 有效数字和相对误差限的关系(其中$a_1$为$x$化为标准浮点数下小数点后第一个非零的数)：

  • 已知有效位数$n$:
    ${ϵ}_r\le \frac{1}{2a_1}\times 10^{-n+1}$

  • 已知$x$的相对误差限:
    ${ϵ}_r\le \frac{1}{2(a_1+1)}\times 10^{-n+1}$

数值计算中的若干原则

• 避免两个相近的数相减（使用其他算法，公式？乘除？）
  假设$z=x-y,z^{\ast }=x^{\ast }-y^{\ast }$,那么：
  $e_r(z)=|\frac{x}{x-y}||e_r(x)|+|\frac{y}{x-y}||e_r(x)|$,从该式中我们可以看出$z$的相对误差会特别大

• 防止“大数”吃掉小数（改变运算顺序？）

• 绝对值太小的数不宜做除数
  假设$z=x÷y,z^{\ast }=x^{\ast }÷y^{\ast }$,那么：

  $e(z)=|z^{\ast }-z|=|\frac{y(x^{\ast }-x)+x(y-y^{\ast })}{yy\ast }|\approx \frac{|y||e(x)|+|x||e(y)|}{y^2}$​

  则如果$y$的绝对值太小，那么$z$的绝对误差较大

• 注意简化计算程序，减少计算次数（舍入误差的积累和计算的时间）

• 选用数值稳定性好的算法

例题

1. 将下列表达式进行等价变形，使其数值计算结果较为精确。

   (1) $\frac{1}{1-2x}-\frac{1+x}{1-x},|x|<<1$

   解：$原式=\frac{2x^2}{(1-2x)(1-x)}$

   (2)$\frac{1-e^x}{x},|x|<<1$

   解：由$e^x$在x=0处的泰勒展开式可得：

   $e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\dots +\frac{1}{n!}{x}^2+R_n(x)$

   所以

   $\frac{1-e^x}{x}=\frac{x+\frac{1}{2!}{x}^2+\dots +\frac{1}{n!}{x}^2}{x}=1+\frac{1}{2!}x+\frac{1}{3!}{x}^2+\dots +\frac{1}{n!}{x}^{n-1}$

2. 假设$f=(\sqrt{2}-1{)}^6,\sqrt{2}$取1.4，下列哪种计算方式的精确度最高。

   (1)$\frac{1}{(\sqrt{2}+1{)}^6}\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x^6}$

   (2)$(3-2\sqrt{2}{)}^3\Rightarrow f(x)=x^3$

   (3)$\frac{1}{(3-2\sqrt{2}{)}^3}\Rightarrow f(x)=\frac{1}{x^3}$

   (4)$99-70\sqrt{2}\Rightarrow f(x)=99-70x$

   解：使用函数的条件数$cond=|\frac{f^{{}^{\prime }}(x)x}{f(x)}|$

   将$x=1.4$带入其中，可得(3)式的精确度最高。

   注：条件数低为良态，条件数高为病态。

补充：$x_1{x}_2$的绝对误差限

$x_1\approx x_1,x_2\approx x_2$
$$|x_1{x}_2-x_1^{\ast }{x}_2^{\ast }|=|x_1{x}_2-x_1{x}_2^{\ast }+x_1{x}_2^{\ast }-x_1^{\ast }{x}_2^{\ast }|$$
$$\le |x_1||x_2-x_2^{\ast }|+|x_2^{\ast }||x_1-x_1^{\ast }|$$
$$=|x_1||e(x_2)|+|x_2||e(x_1)|$$