[NA]Lab2:求多项式函数的零点

任务概述

数值分析课程的第二个实验，计算一个多项式函数在给定区间[a,b]上的零点。多项式函数形如：

p(x)=cnxn+cn−1xn−1+...c1x+c0

裁判数据保证在给定区间内存在唯一的实数根。
函数接口定义

double Polynomial_Root(int n, double c[], double a, double b, double EPS);

其中n表示多项式的阶数，c为传入多项式的系数，a和b分别为区间的两个端点，EPS为误差限。程序返回值即为所求的根。
裁判程序样例：

#include 
#include 

#define ZERO 1e-13 /* X is considered to be 0 if |X|
#define MAXN 11    /* Max Polynomial Degree + 1 */

double Polynomial_Root(int n, double c[], double a, double b, double EPS);

int main()
{
    int n;
    double c[MAXN], a, b;
    double EPS = 0.00005;
    int i;

    scanf("%d", &n);
    for (i=n; i>=0; i--) 
        scanf("%lf", &c[i]);
    scanf("%lf %lf", &a, &b);
    printf("%.4f\n", Polynomial_Root(n, c, a, b, EPS));

    return 0;
}

/* Your function will be put here*/

输入样例：

2 1 1.5 -1
0 2

输出样例：

0.5000

算法思路

1.牛顿法
对于求一元函数根的方法，牛顿法相比于二分法、不动点迭代法有着良好的性能。

牛顿法的思路源于泰勒展开，通过函数在某一点的线性近似迭代逼近。然而，实际情况告诉我们，依赖于初值的选取与一阶导数的值，并非所有的多项式函数都能通过上述牛顿法得到收敛的根。虽然题目保证区间内存在唯一的实数根，但其并不一定是多项式的单根。因此我们要针对题目要求进行一定的优化和修改。
2.求解重根的方法
如果一个多项式函数在某一区间有唯一实根p，那么其一定可以表示为 f(x)=(x−p)mq(x)，其中q(p)≠0，m表