数值分析--第二章--范数

范数

引入

• 为了对线性方程组的性态和其数值解进行分析，故引入范数来表示。

向量范数

定义

• 假设$||\cdot ||$为向量空间$R^n$的实值函数，且满足以下三个条件：
• 非负性：对于任何向量$x\in R^n$，$||x||\ge 0$，且$||x||=0$当且仅当$x=0$
• 齐次性：对于任何实数$\alpha$和向量$x\in R^n$，$||\alpha x||=|\alpha |||x||$
• 三角不等式：对于任何向量$x,y\in R^n$，$||x+y||\le ||x||+||y||$

则称$||\cdot ||$为向量空间$R^n$上的范数，$||x||$为向量$x$的范数

常用的三个向量范数

• 向量1-范数：$||x|{|}_1={\sum }_{i=1}^n|x_i|$
• 向量2-范数：$||x|{|}_2=({\sum }_{i=1}^n{x}_i^2{)}^{\frac{1}{2}}$(向量的模)
• 向量$\infty$-范数：$||x|{|}_{\infty }=ma{x}_{1\le i\le n}|x_i|$

范数的等价性以及常用的等价公式

• 范数的等价性：对于$R^n$空间上的任意两个范数$||\cdot |{|}_{\alpha }$和$||\cdot |{|}_{\beta }$，存在正常数$m,M$，使得：

  $m||x|{|}_{\beta }\le ||x|{|}_{\alpha }\le M||x|{|}_{\beta },\forall x\in R^n$

• 常用的等价公式：

  $||x|{|}_{\infty }\le ||x|{|}_1\le n||x|{|}_{\infty }$

  $||x|{|}_{\infty }\le ||x|{|}_2\le \sqrt{n}||x|{|}_{\infty }$

  $||x|{|}_2\le ||x|{|}_1\le \sqrt{n}||x|{|}_2$

矩阵范数

定义

• 与向量范数定义类似，除去向量范数满足的三个条件以外，还要满足第四个条件：
• $||AB||\le ||A||||B||$
• 满足四个条件则称$||A||$为$A$的范数

四个常用的矩阵范数

• 矩阵的1-范数（列范数）：$||A|{|}_1=ma{x}_{1\le j\le n}{\sum }_{i=1}^n|a_{ij}|$
• 矩阵的2-范数（谱范数）：$||A|{|}_2=(A^{T}A的最大特征值{)}^{\frac{1}{2}}$
• 矩阵的$\infty$-范数（行范数）：$||A|{|}_{\infty }=ma{x}_{1\le i\le n}{\sum }_{j=1}^n|a_{ij}|$
• 矩阵的F-范数：$||A|{|}_F=({\sum }_{i,j=1}^n|a_{ij}{|}^2{)}^{\frac{1}{2}}$

识记：1是竖着的所以一范数是列范数，$\infty$范数是横着的所以是行范数。

矩阵相容范数的判定

• $||Ax||\le ||A||||x||,\forall x\in R^n$

谱半径

• $\rho (A)=ma{x}_{1\le i\le n}|\lambda |$

特征值$\lambda$的求法

• 计算行列式: $|\lambda I-A|=0$
• 特征值得和等于矩阵主对角线元素之和