对称群与置换群 定义

我刚接触抽象代数的那段时间，一直在考虑一个问题，抽象代数有什么实际应用。后来听说，群在研究一些具有对称性质的对象时有奇效。于是我试着用群去描述一些简单的几何变换，发现确实如此。这就是我在置换那篇文章的最后让大家思考等边三角形变换的原因。
如果大家在看群的定义时，回想一下集合 S={1,2,...n}S={1,2,...n} 上的所有置换，不难发现这些置换也能构成群。这个群被叫做对称群，记为 SnSn。而 SnSn 的任意一个子群被称作置换群。
为了了解置换的性质，我们用循环的乘积表示置换。

如果 nn 阶置换 PP 把 kk 个数码 i1,i2,...iki1,i2,...ik按如下方式对应： 

P(i1)=i2, P(i2)=i3, ..., P(ik)=i1P(i1)=i2, P(i2)=i3, ..., P(ik)=i1

而对于其余数码 x,p(x)=xx,p(x)=x 。则说 PP 是一个 kk 循环。记作 

P=(i1,i2,...in)P=(i1,i2,...in)

 

当然，一个循环不止一种写法。(i1,i2,...in)和(i2,i3,...in,i1)(i1,i2,...in)和(i2,i3,...in,i1) 是一个循环。
两个循环是不交的，如果两个循环中的数码都不相同。如果两个循环不交，那么这两个循环显然是可以交换位置的。例如置换 

[122331445665][123456231465]

中有两个循环 (1,2,3),(5,6)(1,2,3),(5,6) ，那么这两个循环无论以何种方式复合，结果都是 

[122331445665][123456231465]

我们再来看一下循环本身，最简单的循环是只有两个数码的循环，比如上面那个例子中的 (5,6)(5,6) ，要研究那些大的循环，可否将任意一个循环表示成若干2循环的乘积呢？答案当然是肯定的。还是上面那个例子，循环 (1,2,3)(1,2,3) 可以表示成 (1,3)(1,2)(1,3)(1,2)。注意，这两个2循环是相交的，所以不能交换位置。
现在我们介绍两个置换群的子群：
* 设S={1,2,...,n}S={1,2,...,n}，GG 是 SS 上的一个置换群，TT 是 SS 的任意一个子集，令 
GT={P∈G|P(t)=t,t∈T}GT={P∈G|P(t)=t,t∈T}，那么 GTGT 是G的一个子群。证明很简单：首先，恒等置换 isis 必然属于GTGT，并且是 GTGT 的单位元；其次，如果 P,Q∈GTP,Q∈GT，那么对于 TT 中任意元素 tt，(PQ)(t)=t(PQ)(t)=t，也就是说 PQ∈GTPQ∈GT；最后，如果P∈GTP∈GT，那么 (PP−1)(t)=(P−1P)(t)=t(PP−1)(t)=(P−1P)(t)=t。故GTGT 是G的一个子群。 
* 设S={1,2,...,n}S={1,2,...,n}，GG 是 SS 上的一个置换群，TT 是 SS 的任意一个子集，令 
GT={P∈G|P(t)⊆T}GT={P∈G|P(t)⊆T}，那么 GTGT 是G的一个子群。证明方法与上面类似，只是需要说明 P(t)⊆TP(t)⊆T 和 P(t)=TP(t)=T 其实是等价的。

 

这两个子群， GTGT 使 TT 中的元素保持不动，GTGT 使 TT 中的元素只在 TT 中变动，所以 GT⊆GTGT⊆GT。讲完这些回想一下置换一文中提到的三角形变换：
循环 (1,2),(2,3),(1,3)(1,2),(2,3),(1,3) 代表的置换可以构成形如 GTGT 的子群。TT 分别对应 {3},{1},{2}{3},{1},{2}。从几何的角度说，TT 称之为对称轴。
循环 (1,2,3),(2,3,1)(1,2,3),(2,3,1) 代表的置换可以构成形如 GTGT 的子群。几何意义是对三角形做120°旋转变换。
置换群还有很多例子,建议高中化学学得不错的小伙伴考虑考虑手性分子结构。对密码学有兴趣的可以搜一下移位密码(一种移位密码)，移位密码一般用环论解释，但个人认为用群论也能够理解。密码学不太了解,如果这里说的有问题，不吝赐教。