MIT线性代数：6.列空间和零向量

1.列空间

该矩阵A是R^4空间的子空间（因为是4*3的矩阵，是四维向量），这个子空间是A的列空间所有列的线性组合。那么他对于每个Ax=b的每个b是否都有解呢？（也就是什么样的b才会使得Ax=b有解）

3个列向量的线性组合无法充满整个四维空间，因此有大量的b不是这三个向量的线性组合，因为三个向量的线性组合也许是四维空间中的一个平面，三个未知数四个方程通常是无解的，但是上面这种情况却有解，我们可以取b（1,2,3,4），自然可以得到解x（1,0,0），那么总结出只要b是属于A的列空间的线性组合，则方程组有解。

而且，上面的矩阵A列是线性相关的，也就是第三列是第二列加上第一列，所以第三列其实是没有做贡献的，其实这个矩阵并不是三维的，是两维的，所以最终对该矩阵的描述为R^4中的二维子空间。

2.零空间

零空间N(A)就是满足Ax=0的所有解的集合，因为x是三维的，所以A的零空间就是三维的子空间。

由此不难得出解为

则表示为R^3中的过原点的一条直线

2.1为什么零空间是向量空间？

检验：Ax=0的解构成一个子空间

如果Av=0，Aw=0，那么A(v+w)=0。也就是说v和w都在零空间内，(v+w)也在零空间内，同理如果A(cv)=0（c为常数），那么c(Av)=0。

但是任意取一个b，请问x能构成一个空间吗？很明显不行，因为0向量不是解，任何空间都包括0向量。

3如何构造子空间

1.通过矩阵的列向量的线性组合

2.通过让x满足特定条件的方程组，比如Ax=0来构造零空间