数值计算笔记之线性方程组的迭代解、迭代方法

一、迭代解

1、直接法与迭代法

直接法：直接求出准确解

迭代法：得到近似解（由截断误差造成）

例：求解方程组

解法一：直接法（选择高斯消去法）

1、消元 

2、回代  

解法二：迭代法

迭代法基本原理：

给定某初始解，按      

若{}收敛于，且 连续，则即为的解 （   

 详细过程链接。非线性方程的求解（迭代法）

下面是方程组的:

取初始向量   ，进行迭代运算，其迭代过程取下：

迭代结果

最后取  作为方程组的近似解。 

问题：再能求得准确解的情况下，为什么还要用迭代法求它的近似解呢？

因为最终是要通过计算机编写程序来得到计算结果的，当未知数非常多，问题规模非常大的时候，直接法占用的内存非常大，而迭代法就比较少。

2、向量序列和矩阵序列的收敛性

定义：设 {} 为 中向量序列，，若 （范数），则称 {} 收敛于 ，记作 。

定义：设 {} 为  矩阵序列，。若 ，则称 {} 收敛于。

3、迭代法的一般形式

，其中 被称作迭代矩阵。

二、迭代方法

1、雅可比迭代法(Jacobbi)

一般形式：

其中  

转化为：

从而得到 迭代公式：

具体例子见上一个。

令  为系数矩阵，

 ，现将  分为 三个部分，下三角 L，上三角U，对角线 D. 记

 ， ，

再次观察迭代公式

                  又 

故 雅可比迭代公式为：

     或者  

 （形如），其中  为迭代矩阵  。

2、高斯--赛德尔迭代法(Guass-seidel)

高斯--赛德尔迭代法由雅可比迭代法的基础上得来，加快了雅可比迭代法的收敛速度。

高斯-赛德尔迭代阵：  。

先看看 Jacobbi迭代法 递推公式：

 高斯--赛德尔迭代法 递推公式为：

   ，现 已知，带入 的表达式，有：

     ，同理，、已知，带入 表达式，有：

例：用 Guass-seidel 解方程组

解：

迭代公式：

    ，取初值 

结果看下面。

三、代码实现

上个例子结果：

C++代码:

 文件

#pragma once
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include"guassSeidel.h"
using namespace std;
using namespace arma;

const double err = 1e-6;
mat A;
vec X, b, X_temp;

void GreateA_mat(int &n) {
	A.zeros(n, n);
	/*for (int i = 0; i < n; i++) {
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			double temp;
			cout << "请输入系数" << '\t' << "A" << "(" << i << "," << j << ")" << " =   ";
			cin >> temp;
			A(i, j) = temp;
		}
	}
	A.print("A:");*/
	ifstream readfileA("A.txt", ios::in);
	if (!readfileA.is_open())
		cout << "Open file failure !" << endl;
	while (!readfileA.eof()) {
		for (int i = 0; i < 3; i++) {
			double a0, a1, a2;
			readfileA >> a0 >> a1 >> a2;
			A(i, 0) = a0;
			A(i, 1) = a1;
			A(i, 2) = a2;
		}
	}
	readfileA.close();
}

void Fillb_mat(int &n) {
	//cout << "请填充矩阵 b" << endl;
	b.zeros(n);
	ifstream readfileb("b.txt", ios::in);
	if (!readfileb.is_open())
		cout << "Open file failure !" << endl;
	while (!readfileb.eof()) {
		for (int i = 0; i < 3; i++) {
			double temp;
			readfileb >> temp;
			b(i) = temp;
		}
	}
	readfileb.close();
	/*for (int i = 0; i < n; i++) {
		double temp;
		cout << "请输入   " << "b" << i  << " =   ";
		cin >> temp;
		b(i) = temp;
	}
	b.print("b:");*/
}

void InitX_mat(int &n) {
	//cout << "请输入X矩阵的初始值 " << endl;
	X.zeros(n);
	/*for (int i = 0; i < n; i++) {
		double temp;
		cout << "请输入初始值   "  << "x"  << i  << " =   ";
		cin >> temp;
		X(i) = temp;
	}
	X.print("X:");*/
	ifstream readfileX("x.txt", ios::in);
	if (!readfileX.is_open())
		cout << "Open file failure !" << endl;
	while (!readfileX.eof()) {
		for (int i = 0; i < 3; i++) {
			double x;
			readfileX >> x;
			X(i) = x;
		}
	}
}

void saveDate(int &n) {
	ofstream outfileX("X_result.txt",ios::app);  //从文件末尾开始写，防止丢失文件中原来就有的内容
	if (!outfileX.is_open())
		cout << "Open file failure !" << endl;

	for (int i = 0; i < n; i++) {
		outfileX << X(i) << '\t';
	}
	outfileX << endl;
	outfileX.close();
}

void Iteration(int &n) {
	saveDate(n);
	cout << setprecision(6) << X(0) << '\t' << X(1) << '\t' << X(2) << endl;

	X_temp = X;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		double sum = 0;
		for (int j = 0; j < n; j++) {
			if (i == j)
				continue;
			sum += A(i, j)*X(j);
		}
		X(i) = 1 / A(i, i) * (b(i) - sum);
	}
	/*cout << setprecision(6) << X(0) << '\t' << X(1) << '\t' << X(2)<< endl;*/
}

void solve(int &n) {
	do {
		Iteration(n);
	} while (fabs(X(0) - X_temp(0)) > err);
}

void GuassSeidel(int &n) {
	cout << setprecision(6) << "x1" << '\t' << "x2" << '\t' << "x3" << endl;
	GreateA_mat(n);
	Fillb_mat(n);
	InitX_mat(n);
	cout << endl;
	solve(n);
}

 文件

#include
#include
#include
#include
#include"guassSeidel.h"

int main()
{
	int n;
	cout << "请输入未知数个数n，n = ";
	cin >> n;
	cout << endl;

	GuassSeidel(n);
}

PS：程序中我用到了  矩阵库，如果你没有安装，请点击链接。